14
1 Généralités
(2) Si n est premier et A 0 = M n (K), alors A 1 est R 1 -équivalente à A 0 si et
seulement si A 1 est directement R 1 -équivalente à A 0 et si et seulement si A 1
est cyclique.
On peut alors raffiner légèrement la Proposition 1.6.2.(2).
Lemme 1.6.5 Soit M un k-groupe de type multiplicatif.
(1) Soit α ∈ H 1
fppf (k, M). Alors α ∈ R 1 H 1
fppf (k, M) si et seulement s’il existe un
entier n ≥ 1 et un plongement i : μ n → M telle que α ∈ Im
H 1
fppf (k, μ n ) →
H 1
fppf (k, M)
.
(2) On suppose que M est un k-tore déployé par une extension cyclique de degré
premier. Alors R 1 H 1
fppf (k, M) = H 1
fppf (k, M).
Démonstration Soit 1 → M → S → E → 1 une résolution flasque de M.
(1) On suppose que α ∈ R 1 H 1
fppf (k, M). Alors il existe une classe γ ∈ H 1
fppf (G m ,
M) et t 0 ∈ k × telle que γ (1) = 0 et γ (t 0 ) = α. Comme H 1 (k, S)
∼
−→
H 1 (G m,k , S) (§1.2.2), il suit que l’image de γ dans H 1 (G m,k , S) est nulle
et γ provient par l’application caractéristique ϕ : E(G m ) → H 1 (G m,k , M)
d’une classe x ∈ E(G m ) qui satisfait x(1) = 1. En d’autres mots, il existe
un homomorphisme f : G m → E tel que γ est la classe du M-torseur S
déduit par « pull-back » du M-torseur S sur E. Le k-schéma S est muni
d’une structure de k-groupe multiplicatif et s’insère dans une suite exacte
1 → M → S → G m → 1. La classe d’une telle extension étant de
torsion, il existe un entier n tel que le « pull-back » de cette extension par
le morphisme f n : G m
×n
−→ G m est l’extension triviale. En d’autres mots, il
existe un homomorphisme
f n : G m → S relevant f n et on a un diagramme
commutatif exact de k-groupes de type multiplicatif
1
M
i
S
E
1
1
M
i
id M
S
G m
f
1
1
μ n
f
G m
×n
fn
G m
id
1.
Quitte à effectuer le quotient par ker(f ) dans la suite du bas, on peut supposer
que f est un k-plongement. Ainsi [x] ∈ H 1
fppf (G m,k , M) est l’image de
(t) ∈ k[t ±1 ]/k[t ±1 ] ×n ∼ = H 1
fppf (G m,k , μ n ) par f ,∗ : H 1
fppf (G m,k , μ n ) →
H 1
fppf (G m,k , M). On conclut que α = γ (t 0 ) = x(t 0 ) = f ,∗ ((t))(t 0 ) ∈
R 1 H 1
fppf (k, M). La réciproque est évidente.
1 Généralités
(2) Si n est premier et A 0 = M n (K), alors A 1 est R 1 -équivalente à A 0 si et
seulement si A 1 est directement R 1 -équivalente à A 0 et si et seulement si A 1
est cyclique.
On peut alors raffiner légèrement la Proposition 1.6.2.(2).
Lemme 1.6.5 Soit M un k-groupe de type multiplicatif.
(1) Soit α ∈ H 1
fppf (k, M). Alors α ∈ R 1 H 1
fppf (k, M) si et seulement s’il existe un
entier n ≥ 1 et un plongement i : μ n → M telle que α ∈ Im
H 1
fppf (k, μ n ) →
H 1
fppf (k, M)
.
(2) On suppose que M est un k-tore déployé par une extension cyclique de degré
premier. Alors R 1 H 1
fppf (k, M) = H 1
fppf (k, M).
Démonstration Soit 1 → M → S → E → 1 une résolution flasque de M.
(1) On suppose que α ∈ R 1 H 1
fppf (k, M). Alors il existe une classe γ ∈ H 1
fppf (G m ,
M) et t 0 ∈ k × telle que γ (1) = 0 et γ (t 0 ) = α. Comme H 1 (k, S)
∼
−→
H 1 (G m,k , S) (§1.2.2), il suit que l’image de γ dans H 1 (G m,k , S) est nulle
et γ provient par l’application caractéristique ϕ : E(G m ) → H 1 (G m,k , M)
d’une classe x ∈ E(G m ) qui satisfait x(1) = 1. En d’autres mots, il existe
un homomorphisme f : G m → E tel que γ est la classe du M-torseur S
déduit par « pull-back » du M-torseur S sur E. Le k-schéma S est muni
d’une structure de k-groupe multiplicatif et s’insère dans une suite exacte
1 → M → S → G m → 1. La classe d’une telle extension étant de
torsion, il existe un entier n tel que le « pull-back » de cette extension par
le morphisme f n : G m
×n
−→ G m est l’extension triviale. En d’autres mots, il
existe un homomorphisme
f n : G m → S relevant f n et on a un diagramme
commutatif exact de k-groupes de type multiplicatif
1
M
i
S
E
1
1
M
i
id M
S
G m
f
1
1
μ n
f
G m
×n
fn
G m
id
1.
Quitte à effectuer le quotient par ker(f ) dans la suite du bas, on peut supposer
que f est un k-plongement. Ainsi [x] ∈ H 1
fppf (G m,k , M) est l’image de
(t) ∈ k[t ±1 ]/k[t ±1 ] ×n ∼ = H 1
fppf (G m,k , μ n ) par f ,∗ : H 1
fppf (G m,k , μ n ) →
H 1
fppf (G m,k , M). On conclut que α = γ (t 0 ) = x(t 0 ) = f ,∗ ((t))(t 0 ) ∈
R 1 H 1
fppf (k, M). La réciproque est évidente.