1.6 R-équivalence
13
(2) Si M est déployé par une extension métacyclique L/k, alors on peut choisir S et
E aussi déployés par L. On sait alors que H 1 (k, S) = 0 d’après Colliot-Thélène
et Sansuc [45, cor. 3].
1.6.2 Deux variantes: la R 0 et la R 1 -équivalence
On peut également définir l’ensemble des composantes connexes naïves de la façon
suivante.
On dit que deux éléments x 0 , x 1 ∈ F (k) sont directement R 0 -équivalents s’il
existe x ∈ F (k[t]) satisfaisant x(0) = x 0 et x(1) = x 1 . La R 0 -équivalence sur
F (k) est alors la relation d’équivalence engendrée par cette relation élémentaire.
On note F (k)/R 0 l’ensemble des classes de F (k) modulo R-équivalence. Si F est
un foncteur en groupes, la relation élémentaire coïncide avec la relation R 0 .
Exemple 1.6.3 Si G désigne un k-groupe semi-simple simplement connexe absolument presque k-simple et isotrope, on sait que le groupe G(k)/R 0 est isomorphe au
groupe de Whitehead de G (Margaux, [128]).
Il est aussi intéressant d’autoriser un pôle supplémentaire. On dit que deux éléments x 1 , x 2 ∈ F (k) sont directement 3 R 1 -équivalents s’il existe x ∈ F (k[t, t −1 ])
tels que x 1 , x 2 ∈ x(k × ) ⊂ F (k). La R 1 -équivalence sur F (k) est alors la
relation d’équivalence engendrée par cette relation élémentaire. On note F (k)/R 1
l’ensemble des classes de F modulo R 1 -équivalence; si F est un foncteur en
groupes, la relation élémentaire coïncide avec la relation R 1 . Voici un premier
exemple intéressant.
Exemple 1.6.4 Soit n un entier inversible dans k, n ≥ 1 et considérons le kfoncteur B n (F ) = H 1 (F, PGL n ) des classes d’isomorphie d’algèbres simples
centrales de degré n. D’après [84, Th. 11.4], H 1 (G m,k , PGL n ) est décrit par les
classes de couples (A 0 , χ) où A 0 désigne une k-algèbre simple centrale de degré
n et un caractère χ ∈ Hom ct (Γ k , Z/nZ) de sorte qu’il existe une sous k-algèbre
commutative étale K ⊂ A 0 de degré n satisfaisant χ K = 0. En outre, la classe dans
le groupe de Brauer Br(G m,k ) associée à un couple (A 0 , χ) est [A 0 ] G m + χ ∪ (t).
Ainsi si A 0 , A 1 désignent des k-algèbres simples centrales de degré n, alors A 0
est directement R 1 -équivalent à A 1 si et seulement s’il existe un caractère χ ∈
Hom ct (Γ k , Z/nZ) et une sous-algèbre étale K ⊂ A 0 de degré n telle que χ K = 0 et
[A 1 ] = [A 0 ] + χ ∪ (a) dans Br(k) pour un scalaire a ∈ A × . Ainsi A 1 est déployée
par K et K se plonge dans A 1 . Examinons les cas particuliers suivants:
(1) Si A 0 = M n (K), alors les k-algèbres directement R 1 -équivalentes à A 0 sont les
k-algèbres simples centrales cycliques de degré n.
3 Noter que la relation est triviale si k est le corps à deux éléments.
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(2) Si M est déployé par une extension métacyclique L/k, alors on peut choisir S et
E aussi déployés par L. On sait alors que H 1 (k, S) = 0 d’après Colliot-Thélène
et Sansuc [45, cor. 3].
1.6.2 Deux variantes: la R 0 et la R 1 -équivalence
On peut également définir l’ensemble des composantes connexes naïves de la façon
suivante.
On dit que deux éléments x 0 , x 1 ∈ F (k) sont directement R 0 -équivalents s’il
existe x ∈ F (k[t]) satisfaisant x(0) = x 0 et x(1) = x 1 . La R 0 -équivalence sur
F (k) est alors la relation d’équivalence engendrée par cette relation élémentaire.
On note F (k)/R 0 l’ensemble des classes de F (k) modulo R-équivalence. Si F est
un foncteur en groupes, la relation élémentaire coïncide avec la relation R 0 .
Exemple 1.6.3 Si G désigne un k-groupe semi-simple simplement connexe absolument presque k-simple et isotrope, on sait que le groupe G(k)/R 0 est isomorphe au
groupe de Whitehead de G (Margaux, [128]).
Il est aussi intéressant d’autoriser un pôle supplémentaire. On dit que deux éléments x 1 , x 2 ∈ F (k) sont directement 3 R 1 -équivalents s’il existe x ∈ F (k[t, t −1 ])
tels que x 1 , x 2 ∈ x(k × ) ⊂ F (k). La R 1 -équivalence sur F (k) est alors la
relation d’équivalence engendrée par cette relation élémentaire. On note F (k)/R 1
l’ensemble des classes de F modulo R 1 -équivalence; si F est un foncteur en
groupes, la relation élémentaire coïncide avec la relation R 1 . Voici un premier
exemple intéressant.
Exemple 1.6.4 Soit n un entier inversible dans k, n ≥ 1 et considérons le kfoncteur B n (F ) = H 1 (F, PGL n ) des classes d’isomorphie d’algèbres simples
centrales de degré n. D’après [84, Th. 11.4], H 1 (G m,k , PGL n ) est décrit par les
classes de couples (A 0 , χ) où A 0 désigne une k-algèbre simple centrale de degré
n et un caractère χ ∈ Hom ct (Γ k , Z/nZ) de sorte qu’il existe une sous k-algèbre
commutative étale K ⊂ A 0 de degré n satisfaisant χ K = 0. En outre, la classe dans
le groupe de Brauer Br(G m,k ) associée à un couple (A 0 , χ) est [A 0 ] G m + χ ∪ (t).
Ainsi si A 0 , A 1 désignent des k-algèbres simples centrales de degré n, alors A 0
est directement R 1 -équivalent à A 1 si et seulement s’il existe un caractère χ ∈
Hom ct (Γ k , Z/nZ) et une sous-algèbre étale K ⊂ A 0 de degré n telle que χ K = 0 et
[A 1 ] = [A 0 ] + χ ∪ (a) dans Br(k) pour un scalaire a ∈ A × . Ainsi A 1 est déployée
par K et K se plonge dans A 1 . Examinons les cas particuliers suivants:
(1) Si A 0 = M n (K), alors les k-algèbres directement R 1 -équivalentes à A 0 sont les
k-algèbres simples centrales cycliques de degré n.
3 Noter que la relation est triviale si k est le corps à deux éléments.