12
1 Généralités
bijection naturelle G(k)/RG(k)
∼
−→ G(k)/R qui munit l’ensemble G(k)/R d’une
structure naturelle de groupe. De plus deux points de G(k) qui sont R-équivalents
le sont directement [75, II.1.1].
Exemples 1.6.1
(a) Si X est un k-schéma, l’ensemble X(k) est muni de la R-équivalence. C’est le
cas qui a été considéré par Manin dans son étude des surfaces cubiques [126,
§14].
(b) Si G est un k-groupe algébrique, alors G(k)/R est un quotient de G(k). En
outre, si k est infini, deux points de G(k) R-équivalents le sont directement et
on a G(k)/R ∼ = G(k(t))/R où k(t) désigne le corps des fractions rationnelles à
une variable [75, II.1.1].
(c) Si G est un k-groupe algébrique, alors B G (A) = H 1
fppf (A, G) définit
un k-foncteur. Ce foncteur B G commute aux limites inductives (Grothendieck/Margaux [127]). On définit alors RH 1
fppf (k, G) comme le sous-ensemble
des classes R-équivalentes à 1 ∈ H 1
fppf (k, G).
Proposition 1.6.2 Soit M un k-groupe de type multiplicatif.
(1) Soit 1 → M
i
− → S → E → 1 une résolution où S est un k-tore flasque
et E un k-tore quasi-trivial (cela existe, voir [46, lemma 0.6]). Alors l’application H 1
fppf (k, M) → H 1 (k, S) induit un isomorphisme H 1
fppf (k, M)/R
∼
−→
H 1 (k, S) de sorte que RH 1
fppf (k, M) est l’image de l’application caractéristique φ : E(k) → H 1
fppf (k, M).
(2) Si M est déployé par une extension métacyclique, alors H 1
fppf (k, M)/R = 1.
Rappelons qu’un groupe fini Γ est métacyclique si tous ses groupes de Sylow
sont cycliques. Cette condition 2 entraîne que Γ est une extension d’un groupe
cyclique fini par un groupe cyclique fini [6, 39.3]. Une extension galoisienne k /k
est dite métacyclique si son groupe de Galois est métacyclique.
Démonstration
(1) On considère la suite exacte E(k)
φ
− → H 1
fppf (k, M) → H 1 (k, S) → H 1 (k, E) =
0. Comme RE(k) = E(k) et que l’application caractéristique se généralise
à tout k-schéma, il suit que φ
E(k)
⊆ RH 1
fppf (k, M), d’où l’inclusion
ker
H 1
fppf (k, M) → H 1 (k, S)
⊆ RH 1
fppf (k, M).
Par ailleurs, comme H 1 (k, S)
∼
−→ H 1 (U, S) pour tout ouvert U non vide
de A 1
k , il suit que l’application H 1
fppf (k, M) → H 1 (k, S) induit une application
H 1
fppf (k, M)/R → H 1 (k, S). En combinant avec les faits précédents, on conclut
que l’on a un isomorphisme H 1
fppf (k, M)/R
∼
−→ H 1 (k, S).
2 Attention, la référence [6] utilise un sens plus faible pour la notion de groupes métacyclique,
c’est-à-dire extension de groupes finis cycliques.
1 Généralités
bijection naturelle G(k)/RG(k)
∼
−→ G(k)/R qui munit l’ensemble G(k)/R d’une
structure naturelle de groupe. De plus deux points de G(k) qui sont R-équivalents
le sont directement [75, II.1.1].
Exemples 1.6.1
(a) Si X est un k-schéma, l’ensemble X(k) est muni de la R-équivalence. C’est le
cas qui a été considéré par Manin dans son étude des surfaces cubiques [126,
§14].
(b) Si G est un k-groupe algébrique, alors G(k)/R est un quotient de G(k). En
outre, si k est infini, deux points de G(k) R-équivalents le sont directement et
on a G(k)/R ∼ = G(k(t))/R où k(t) désigne le corps des fractions rationnelles à
une variable [75, II.1.1].
(c) Si G est un k-groupe algébrique, alors B G (A) = H 1
fppf (A, G) définit
un k-foncteur. Ce foncteur B G commute aux limites inductives (Grothendieck/Margaux [127]). On définit alors RH 1
fppf (k, G) comme le sous-ensemble
des classes R-équivalentes à 1 ∈ H 1
fppf (k, G).
Proposition 1.6.2 Soit M un k-groupe de type multiplicatif.
(1) Soit 1 → M
i
− → S → E → 1 une résolution où S est un k-tore flasque
et E un k-tore quasi-trivial (cela existe, voir [46, lemma 0.6]). Alors l’application H 1
fppf (k, M) → H 1 (k, S) induit un isomorphisme H 1
fppf (k, M)/R
∼
−→
H 1 (k, S) de sorte que RH 1
fppf (k, M) est l’image de l’application caractéristique φ : E(k) → H 1
fppf (k, M).
(2) Si M est déployé par une extension métacyclique, alors H 1
fppf (k, M)/R = 1.
Rappelons qu’un groupe fini Γ est métacyclique si tous ses groupes de Sylow
sont cycliques. Cette condition 2 entraîne que Γ est une extension d’un groupe
cyclique fini par un groupe cyclique fini [6, 39.3]. Une extension galoisienne k /k
est dite métacyclique si son groupe de Galois est métacyclique.
Démonstration
(1) On considère la suite exacte E(k)
φ
− → H 1
fppf (k, M) → H 1 (k, S) → H 1 (k, E) =
0. Comme RE(k) = E(k) et que l’application caractéristique se généralise
à tout k-schéma, il suit que φ
E(k)
⊆ RH 1
fppf (k, M), d’où l’inclusion
ker
H 1
fppf (k, M) → H 1 (k, S)
⊆ RH 1
fppf (k, M).
Par ailleurs, comme H 1 (k, S)
∼
−→ H 1 (U, S) pour tout ouvert U non vide
de A 1
k , il suit que l’application H 1
fppf (k, M) → H 1 (k, S) induit une application
H 1
fppf (k, M)/R → H 1 (k, S). En combinant avec les faits précédents, on conclut
que l’on a un isomorphisme H 1
fppf (k, M)/R
∼
−→ H 1 (k, S).
2 Attention, la référence [6] utilise un sens plus faible pour la notion de groupes métacyclique,
c’est-à-dire extension de groupes finis cycliques.