1.6 R-équivalence
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Proposition 1.5.1 (Colliot-Thélène/Sansuc [45, prop. 9]) Soit S un k-tore
flasque. Soit X une k-variété lisse munie d’un ouvert U . Alors l’application de
restriction H 1 (X, S) → H 1 (U, S) est surjective.
Par ailleurs, on sait que H 1 (k, T )
∼
−→ H 1 (A n
k , T ) pour tout k-tore T et tout
entier n ≥ 0 en vertu de la suite exacte [47, th. 1.5.1]
0
H 1 (k, T )
H 1 (A
n
k , T )
H 1 (A
n
ks , T )
H 1 (k, T (k s ))
∼ =
T 0 ⊗ Pic(A n
ks ) = 0
∼ =
En particulier, il suit que H 1 (k, S)
∼
−→ H 1 (U, S) pour tout k-tore flasque S et tout
ouvert non vide U d’un espace affine A n
k .
1.6 R-équivalence
Par k-foncteur, nous entendons un foncteur F : k − Alg → E ns de la catégorie des
k-algèbres (commutatives, unitaires) vers la catégorie des ensembles. On dit qu’un
k-foncteur est localement de présentation finie s’il commute aux limites inductives
filtrantes de k-algèbres, c’est-à-dire si la flèche lim
−→i
F (A i ) → F
lim
−→i
A i
est
bijective pour tout système inductif (A i ) i∈I de k-algèbres.
Si X est un k-schéma, on sait d’après Grothendieck que X est localement de
présentation finie si et seulement si son foncteur des points est localement de
présentation finie [172, prop. 31.6.1, TAG 01ZC].
1.6.1 Définition
Nous allons définir selon Manin la notion de R-équivalence pour un k-foncteur F :
k − Alg → E ns.
On note O l’anneau semi-local de la droite affine en 0 et en 1. On dit que
deux éléments x 0 , x 1 ∈ F (k) sont directement R-équivalents s’il existe x ∈ F (O)
satisfaisant x(0) = x 0 et x(1) = x 1 . La R-équivalence sur F (k) est alors la relation
d’équivalence engendrée par cette relation élémentaire. On note F (k)/R l’ensemble
des classes de F (k) modulo R-équivalence.
Si h : F → E est un morphisme de k-foncteurs, alors on a une application
naturelle f ∗ : F (k)/R → E(k)/R.
Si G est un k-foncteur en groupes, on note RG(k) l’ensemble des éléments Réquivalents à 1 ∈ G(k). Alors RG(k) un sous-groupe distingué de G(k) et on a une
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Proposition 1.5.1 (Colliot-Thélène/Sansuc [45, prop. 9]) Soit S un k-tore
flasque. Soit X une k-variété lisse munie d’un ouvert U . Alors l’application de
restriction H 1 (X, S) → H 1 (U, S) est surjective.
Par ailleurs, on sait que H 1 (k, T )
∼
−→ H 1 (A n
k , T ) pour tout k-tore T et tout
entier n ≥ 0 en vertu de la suite exacte [47, th. 1.5.1]
0
H 1 (k, T )
H 1 (A
n
k , T )
H 1 (A
n
ks , T )
H 1 (k, T (k s ))
∼ =
T 0 ⊗ Pic(A n
ks ) = 0
∼ =
En particulier, il suit que H 1 (k, S)
∼
−→ H 1 (U, S) pour tout k-tore flasque S et tout
ouvert non vide U d’un espace affine A n
k .
1.6 R-équivalence
Par k-foncteur, nous entendons un foncteur F : k − Alg → E ns de la catégorie des
k-algèbres (commutatives, unitaires) vers la catégorie des ensembles. On dit qu’un
k-foncteur est localement de présentation finie s’il commute aux limites inductives
filtrantes de k-algèbres, c’est-à-dire si la flèche lim
−→i
F (A i ) → F
lim
−→i
A i
est
bijective pour tout système inductif (A i ) i∈I de k-algèbres.
Si X est un k-schéma, on sait d’après Grothendieck que X est localement de
présentation finie si et seulement si son foncteur des points est localement de
présentation finie [172, prop. 31.6.1, TAG 01ZC].
1.6.1 Définition
Nous allons définir selon Manin la notion de R-équivalence pour un k-foncteur F :
k − Alg → E ns.
On note O l’anneau semi-local de la droite affine en 0 et en 1. On dit que
deux éléments x 0 , x 1 ∈ F (k) sont directement R-équivalents s’il existe x ∈ F (O)
satisfaisant x(0) = x 0 et x(1) = x 1 . La R-équivalence sur F (k) est alors la relation
d’équivalence engendrée par cette relation élémentaire. On note F (k)/R l’ensemble
des classes de F (k) modulo R-équivalence.
Si h : F → E est un morphisme de k-foncteurs, alors on a une application
naturelle f ∗ : F (k)/R → E(k)/R.
Si G est un k-foncteur en groupes, on note RG(k) l’ensemble des éléments Réquivalents à 1 ∈ G(k). Alors RG(k) un sous-groupe distingué de G(k) et on a une