10
1 Généralités
Si 0 → A 1 → A 2 → A 3 → 0 est une suite exacte de k-groupes commutatifs,
alors on a une suite exacte longue de cohomologie
· · · → H
i
fppf (k, A 1 ) → H
i
fppf (k, A 2 ) → H
i
fppf (k, A 3 )
δ
− → H
i+1
fppf (k, A 1 ) . . .
Enfin, on dispose de morphismes H i (k, A) → H i
fppf (k, A), ce sont des isomorphismes si A est lisse sur k [162, VI.3, th. 43].
Par exemple, pour n ≥ 1, la suite exacte de Kummer 1 → μ n → G m
×n
−→
G m → 1 induit une suite exacte longue
· · · → H
i
fppf (k, μ n ) → H
i (k, G m )
×n
−→ H
i (k, G m )
δ
− → H
i+1 (k, μ n ) . . .
En particulier, vu que H 0 (k, G m ) = k × , H 1 (k, G m ) = 1 et H 2 (k, G m ) = Br(k),
on a des isomorphismes k × /k ×m ∼
−→ H 1
fppf (k, μ m ) et H 2
fppf (k, μ m )
∼
−→ n Br(k).
1.5 Cohomologie étale, torseurs
1.5.1 Torseurs
Si G est un k-groupe algébrique affine et X une k-variété, un G-torseur sur X est
une k-variété munie d’une action à droite de G et d’un morphisme G-équivariant
π : Y → X de k-variétés de sorte que Y × k G → Y × X Y , (y, g) → (y, y.g) est un
isomorphisme et tel que π est fidèlement plat. L’ensemble des classes d’isomorphie
de G-torseurs sur X est noté H 1
fppf (X, G). Si X = Spec(k), cet ensemble coïncide
avec l’ensemble pointé de cohomologie plate
H
1
fppf (k, G) =
g ∈ G(k ⊗ k k) | d
1 (g) = d
0 (g)d
2 (g)
/G(k)
où G(k) agit de la façon suivante g 0 . g = d 0 (g 0 ) −1 g d 1 (g 0 ). Cette définition et ces
énoncés sont des cas particuliers de faits bien plus généraux [138, §III.4].
1.5.2 Tores flasques
Si S est un k-tore, on rappelle que l’on note S le module galoisien des caractères de
S et ( S) 0 = Hom( S, Z) son dual. Un k-tore S est flasque si H 1 (F, ( S) 0 ) = 0 pour
toute extension de corps F/k. Les tores quasi-triviaux et leurs facteurs directs sont
flasques. D’un point de vue géométrique, les tores flasques satisfont la propriété
suivante:
1 Généralités
Si 0 → A 1 → A 2 → A 3 → 0 est une suite exacte de k-groupes commutatifs,
alors on a une suite exacte longue de cohomologie
· · · → H
i
fppf (k, A 1 ) → H
i
fppf (k, A 2 ) → H
i
fppf (k, A 3 )
δ
− → H
i+1
fppf (k, A 1 ) . . .
Enfin, on dispose de morphismes H i (k, A) → H i
fppf (k, A), ce sont des isomorphismes si A est lisse sur k [162, VI.3, th. 43].
Par exemple, pour n ≥ 1, la suite exacte de Kummer 1 → μ n → G m
×n
−→
G m → 1 induit une suite exacte longue
· · · → H
i
fppf (k, μ n ) → H
i (k, G m )
×n
−→ H
i (k, G m )
δ
− → H
i+1 (k, μ n ) . . .
En particulier, vu que H 0 (k, G m ) = k × , H 1 (k, G m ) = 1 et H 2 (k, G m ) = Br(k),
on a des isomorphismes k × /k ×m ∼
−→ H 1
fppf (k, μ m ) et H 2
fppf (k, μ m )
∼
−→ n Br(k).
1.5 Cohomologie étale, torseurs
1.5.1 Torseurs
Si G est un k-groupe algébrique affine et X une k-variété, un G-torseur sur X est
une k-variété munie d’une action à droite de G et d’un morphisme G-équivariant
π : Y → X de k-variétés de sorte que Y × k G → Y × X Y , (y, g) → (y, y.g) est un
isomorphisme et tel que π est fidèlement plat. L’ensemble des classes d’isomorphie
de G-torseurs sur X est noté H 1
fppf (X, G). Si X = Spec(k), cet ensemble coïncide
avec l’ensemble pointé de cohomologie plate
H
1
fppf (k, G) =
g ∈ G(k ⊗ k k) | d
1 (g) = d
0 (g)d
2 (g)
/G(k)
où G(k) agit de la façon suivante g 0 . g = d 0 (g 0 ) −1 g d 1 (g 0 ). Cette définition et ces
énoncés sont des cas particuliers de faits bien plus généraux [138, §III.4].
1.5.2 Tores flasques
Si S est un k-tore, on rappelle que l’on note S le module galoisien des caractères de
S et ( S) 0 = Hom( S, Z) son dual. Un k-tore S est flasque si H 1 (F, ( S) 0 ) = 0 pour
toute extension de corps F/k. Les tores quasi-triviaux et leurs facteurs directs sont
flasques. D’un point de vue géométrique, les tores flasques satisfont la propriété
suivante: