1.4 Cohomologie plate
9
1.3.2 Cohomologie galoisienne des groupes unipotents
déployés
Un k-groupe unipotent déployé (autre terminologie : k-résoluble) est un k-groupe
affine qui est extension successive de G a . Rappelons le lemme suivant sur la
cohomologie galoisienne de ces groupes [153, 1.13].
Lemme 1.3.2 Soient k un corps quelconque et H un k-groupe affine lisse de type
fini. Si U est un k-sous-groupe unipotent déployé distingué de H , alors l’application
canonique
H
1 (k, H )
π
−→ H
1 (k, H /U )
est une bijection.
Démonstration Le groupe U admet une suite de composition centrale caractéristique dont les quotients sont des G n
a [59, IV.4.3.14]. Il suffit de traiter, par récurrence,
le cas où U = G n
a . Toute k-forme galoisienne U de G n
a est isomorphe à G n
a [140,
§V.7, prop. b)] et vérifie donc H i (k, U ) = 0 pour tout i > 0. Si l’on tord U
par a ∈ Z 1 (k s /k, U (k s )) agissant par automorphismes intérieurs de H , on trouve
donc H i (k, a U) = 0 et on en déduit l’injectivité de π (cf. [159], prop. 39, cor.
2). Comme U est un sous-groupe invariant abélien de H , on peut le tordre par
c ∈ Z 1 (k s /k, (H /U )(k s )) et, comme H 2 (k, c U) = 0, on en déduit la surjectivité
de π (cf. [159], prop. 41, cor.).
1.4 Cohomologie plate
La cohomologie plate est définie au moyen des foncteurs dérivés mais dans le cas
d’un corps et d’un k-groupe algébrique commutatif, elle s’exprime aussi par le
procédé de ˇ
Cech que nous rappelons ici [162, §VI.3], [15, Appendice].
On note i : ⊗
n
k k → ⊗
n+1
k k le k-morphisme d’algèbres défini par
i (x 1 ⊗ · · · ⊗ x n ) = x 1 ⊗ · · · ⊗ x i−1 ⊗ 1 ⊗ x i ⊗ · · · ⊗ x n . Soit A un k-schéma
en groupes commutatif. Alors i induit un morphisme de groupes d i : A(⊗ n
k k) →
A(⊗
n+1
k k). On obtient alors un complexe
0 → A(k)
d 1 −d 2
−−−→ A(k ⊗ k k)
d 1 −d 2 +d 3
− −−−−− → A(k ⊗ k k ⊗ k k) → . . .
et H i
fppf (k, A) est par définition le i-ème groupe de cohomologie de ce complexe.
En particulier H 0
fppf (k, A) = A(k) et
H
1
fppf (k, A) =
a ∈ A(k ⊗ k k) | d
1 (a) − d
2 (a) + d
3 (a) = 0
/(d
1
− d
2 ).A(k).
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1.3.2 Cohomologie galoisienne des groupes unipotents
déployés
Un k-groupe unipotent déployé (autre terminologie : k-résoluble) est un k-groupe
affine qui est extension successive de G a . Rappelons le lemme suivant sur la
cohomologie galoisienne de ces groupes [153, 1.13].
Lemme 1.3.2 Soient k un corps quelconque et H un k-groupe affine lisse de type
fini. Si U est un k-sous-groupe unipotent déployé distingué de H , alors l’application
canonique
H
1 (k, H )
π
−→ H
1 (k, H /U )
est une bijection.
Démonstration Le groupe U admet une suite de composition centrale caractéristique dont les quotients sont des G n
a [59, IV.4.3.14]. Il suffit de traiter, par récurrence,
le cas où U = G n
a . Toute k-forme galoisienne U de G n
a est isomorphe à G n
a [140,
§V.7, prop. b)] et vérifie donc H i (k, U ) = 0 pour tout i > 0. Si l’on tord U
par a ∈ Z 1 (k s /k, U (k s )) agissant par automorphismes intérieurs de H , on trouve
donc H i (k, a U) = 0 et on en déduit l’injectivité de π (cf. [159], prop. 39, cor.
2). Comme U est un sous-groupe invariant abélien de H , on peut le tordre par
c ∈ Z 1 (k s /k, (H /U )(k s )) et, comme H 2 (k, c U) = 0, on en déduit la surjectivité
de π (cf. [159], prop. 41, cor.).
1.4 Cohomologie plate
La cohomologie plate est définie au moyen des foncteurs dérivés mais dans le cas
d’un corps et d’un k-groupe algébrique commutatif, elle s’exprime aussi par le
procédé de ˇ
Cech que nous rappelons ici [162, §VI.3], [15, Appendice].
On note i : ⊗
n
k k → ⊗
n+1
k k le k-morphisme d’algèbres défini par
i (x 1 ⊗ · · · ⊗ x n ) = x 1 ⊗ · · · ⊗ x i−1 ⊗ 1 ⊗ x i ⊗ · · · ⊗ x n . Soit A un k-schéma
en groupes commutatif. Alors i induit un morphisme de groupes d i : A(⊗ n
k k) →
A(⊗
n+1
k k). On obtient alors un complexe
0 → A(k)
d 1 −d 2
−−−→ A(k ⊗ k k)
d 1 −d 2 +d 3
− −−−−− → A(k ⊗ k k ⊗ k k) → . . .
et H i
fppf (k, A) est par définition le i-ème groupe de cohomologie de ce complexe.
En particulier H 0
fppf (k, A) = A(k) et
H
1
fppf (k, A) =
a ∈ A(k ⊗ k k) | d
1 (a) − d
2 (a) + d
3 (a) = 0
/(d
1
− d
2 ).A(k).