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1 Généralités
1.3 Cohomologie galoisienne
1.3.1 Dimension cohomologique
Si l est un premier, la l-dimension cohomologique de k est définie par
cd l (k) = Inf
q ∈ N | H
q+1 (k, M)
= 0 pour tout module galoisien fini M l-primaire
avec la convention que Inf{∅} = ∞. La dimension cohomologique de k est définie
par
cd(k) = Inf
q ∈ N | H
q+1 (k, M) = 0 pour tout module galoisien fini M
.
On a cd(k) = Sup
cd l (k), l premier
.
Le cas de cd 2 (k) est spécial puisqu’il est lié aux ordres et aux complétions réelles.
On rappelle que le corps k est dit pythagoricien si il est de caractéristique = 2 et si
toute somme de carrés de k est un carré de k. Un tel corps est soit quadratiquement
clos, soit est formellement réel ce qui équivaut au fait que k admette un ordre (ArtinSchreier, cf. [119, VIII.4]. Si k admet un ordre, alors le cup-produit (−1) ∪ · · · ∪
(−1) ∈ H n (k, μ
⊗n
2 ) est non trivial pour tout n et il suit que cd 2 (k) = ∞. En
particulier, si k est pythagoricien, k est quadratiquement clos ou (de façon a priori
non exclusive) cd 2 (k) = ∞. Cette digression intervient dans le fait suivant.
Lemme 1.3.1 On suppose que k n’est pas pythagoricien. Soit Q une k-algèbre de
quaternions telle que la forme quadratique n Q ⊥ n Q soit isotrope. Alors il existe
une k-algèbre simple centrale A cyclique de degré 4 telle que A ⊗2 est Braueréquivalente à Q.
Démonstration On peut supposer que Q est non triviale et que Q = (χ, a) pour un
caractère χ : Γ k → Z/2Z et a ∈ k × . Si χ se relève en un caractère χ : Γ k →
Z/4Z, alors A = (χ , a) fait l’affaire. Ceci marche donc en caractéristique 2 et
en caractéristique = 2 si −1 est un carré. Il reste à traiter le cas où −1 n’est pas
un carré. En vertu de [120, lemma 2.5], l’hypothèse faite sur n Q entraîne que n Q
devient isotrope sur une extension k(
√
b) où b est une somme de deux carrés. Alors
Q ∼ = (b, c) = (χ b , c) et on sait que χ b se relève en un caractère χ d’ordre 4 [119,
VIII.5.1]. Par suite, A = (χ , c) fait l’affaire.
1 Généralités
1.3 Cohomologie galoisienne
1.3.1 Dimension cohomologique
Si l est un premier, la l-dimension cohomologique de k est définie par
cd l (k) = Inf
q ∈ N | H
q+1 (k, M)
= 0 pour tout module galoisien fini M l-primaire
avec la convention que Inf{∅} = ∞. La dimension cohomologique de k est définie
par
cd(k) = Inf
q ∈ N | H
q+1 (k, M) = 0 pour tout module galoisien fini M
.
On a cd(k) = Sup
cd l (k), l premier
.
Le cas de cd 2 (k) est spécial puisqu’il est lié aux ordres et aux complétions réelles.
On rappelle que le corps k est dit pythagoricien si il est de caractéristique = 2 et si
toute somme de carrés de k est un carré de k. Un tel corps est soit quadratiquement
clos, soit est formellement réel ce qui équivaut au fait que k admette un ordre (ArtinSchreier, cf. [119, VIII.4]. Si k admet un ordre, alors le cup-produit (−1) ∪ · · · ∪
(−1) ∈ H n (k, μ
⊗n
2 ) est non trivial pour tout n et il suit que cd 2 (k) = ∞. En
particulier, si k est pythagoricien, k est quadratiquement clos ou (de façon a priori
non exclusive) cd 2 (k) = ∞. Cette digression intervient dans le fait suivant.
Lemme 1.3.1 On suppose que k n’est pas pythagoricien. Soit Q une k-algèbre de
quaternions telle que la forme quadratique n Q ⊥ n Q soit isotrope. Alors il existe
une k-algèbre simple centrale A cyclique de degré 4 telle que A ⊗2 est Braueréquivalente à Q.
Démonstration On peut supposer que Q est non triviale et que Q = (χ, a) pour un
caractère χ : Γ k → Z/2Z et a ∈ k × . Si χ se relève en un caractère χ : Γ k →
Z/4Z, alors A = (χ , a) fait l’affaire. Ceci marche donc en caractéristique 2 et
en caractéristique = 2 si −1 est un carré. Il reste à traiter le cas où −1 n’est pas
un carré. En vertu de [120, lemma 2.5], l’hypothèse faite sur n Q entraîne que n Q
devient isotrope sur une extension k(
√
b) où b est une somme de deux carrés. Alors
Q ∼ = (b, c) = (χ b , c) et on sait que χ b se relève en un caractère χ d’ordre 4 [119,
VIII.5.1]. Par suite, A = (χ , c) fait l’affaire.