1.2 Groupes algébriques affines
7
1.2.2 Tores
Un k-tore est un k-groupe de type multiplicatif T tel que
T est sans torsion. De
façon équivalente, T est un k-tore si et seulement si T k s est isomorphe à (G m,k s ) r
avec r ≥ 0.
Un k-tore est quasi-trivial s’il est isomorphe à un k-tore R A/k (G m ) pour une kalgèbre étale A. De façon équivalente, T est quasi-trivial si le module galoisien des
caractères
T est de permutation.
Remarque 1.2.2 Il faut prendre garde que le k-tore R A/k (G m ) ne détermine pas en
général la k-algèbre étale A. D’après Scott [156], il existe un groupe fini Γ munis
de deux sous-groupes Γ 1 et Γ 2 non conjugués tels que les Γ -modules Z[Γ /Γ 1 ]
et Z[Γ /Γ 2 ] sont isomorphes. Si Γ k se surjecte sur Γ , alors il existe des extensions
finies séparables de corps k 1 /k et k 2 /k non isomorphes tels que les tores R k 1 /k (G m )
et R k 2 /k (G m ) soient isomorphes.
Exemple 1.2.3 Il est bien connu que les Z/2Z-réseaux indécomposables sont Z,
Z[Z/2Z] et Z[Z/2Z]/Z (e.g. [80, lemme 4.8]). Ainsi si k /k est une extension
quadratique, un k-tore T déployé par k /k est isomorphe à un produit G a
m ×
R k /k (G m )
b ×
R 1
k /k (G m )
c . En particulier, un k-tore T anisotrope déployé par
k /k est isomorphe à
R 1
k /k (G m )
c ; dans ce cas, on a
T ∼ = Z c avec action du groupe
de Galois G al(k /k) par −id. La catégorie des k-tore T anisotropes déployés par
k /k est donc équivalente à la catégorie des réseaux; en particulier, toute suite exacte
est scindée.
Le fait que les extensions de R 1
k /k (G m ) ∼ = R k /k (G m )/G m par lui-même soient
scindées admet la généralisation suivante.
Lemme 1.2.4 Soit K une extension galoisienne finie de k. Soit S un k-tore
anisotrope déployé par K.
(1) Toute extension (centrale) de R K/k (G m )/G m par S est scindée.
(2) Toute extension (centrale) de S par R 1
K/k (G m ) est scindée.
Démonstration
(1) Soit 1 → S → E → R K/k (G m )/G m → 1. Alors le morphisme R K/k (G m ) →
R K/k (G m )/G m se relève en un morphisme u : R K/k (G m ) → E. Comme S
est anisotrope, ce morphisme est trivial sur G m et définit donc une section de la
suite exacte.
(2) C’est la version duale de (1).
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1.2.2 Tores
Un k-tore est un k-groupe de type multiplicatif T tel que
T est sans torsion. De
façon équivalente, T est un k-tore si et seulement si T k s est isomorphe à (G m,k s ) r
avec r ≥ 0.
Un k-tore est quasi-trivial s’il est isomorphe à un k-tore R A/k (G m ) pour une kalgèbre étale A. De façon équivalente, T est quasi-trivial si le module galoisien des
caractères
T est de permutation.
Remarque 1.2.2 Il faut prendre garde que le k-tore R A/k (G m ) ne détermine pas en
général la k-algèbre étale A. D’après Scott [156], il existe un groupe fini Γ munis
de deux sous-groupes Γ 1 et Γ 2 non conjugués tels que les Γ -modules Z[Γ /Γ 1 ]
et Z[Γ /Γ 2 ] sont isomorphes. Si Γ k se surjecte sur Γ , alors il existe des extensions
finies séparables de corps k 1 /k et k 2 /k non isomorphes tels que les tores R k 1 /k (G m )
et R k 2 /k (G m ) soient isomorphes.
Exemple 1.2.3 Il est bien connu que les Z/2Z-réseaux indécomposables sont Z,
Z[Z/2Z] et Z[Z/2Z]/Z (e.g. [80, lemme 4.8]). Ainsi si k /k est une extension
quadratique, un k-tore T déployé par k /k est isomorphe à un produit G a
m ×
R k /k (G m )
b ×
R 1
k /k (G m )
c . En particulier, un k-tore T anisotrope déployé par
k /k est isomorphe à
R 1
k /k (G m )
c ; dans ce cas, on a
T ∼ = Z c avec action du groupe
de Galois G al(k /k) par −id. La catégorie des k-tore T anisotropes déployés par
k /k est donc équivalente à la catégorie des réseaux; en particulier, toute suite exacte
est scindée.
Le fait que les extensions de R 1
k /k (G m ) ∼ = R k /k (G m )/G m par lui-même soient
scindées admet la généralisation suivante.
Lemme 1.2.4 Soit K une extension galoisienne finie de k. Soit S un k-tore
anisotrope déployé par K.
(1) Toute extension (centrale) de R K/k (G m )/G m par S est scindée.
(2) Toute extension (centrale) de S par R 1
K/k (G m ) est scindée.
Démonstration
(1) Soit 1 → S → E → R K/k (G m )/G m → 1. Alors le morphisme R K/k (G m ) →
R K/k (G m )/G m se relève en un morphisme u : R K/k (G m ) → E. Comme S
est anisotrope, ce morphisme est trivial sur G m et définit donc une section de la
suite exacte.
(2) C’est la version duale de (1).