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1 Généralités
Alors (χ, b) est une algèbre simple centrale de degré n [115, 30.A]. En outre,
(χ, b) est déployée (i.e. isomorphe à une k-algèbre de matrices) si et seulement
si b appartient à N k χ /k (k ×
χ ).
1.2 Groupes algébriques affines
Dans ce livre, on ne travaille qu’avec des groupes algébriques affines. On note G m =
Spec(k[t ±1 ]) le k-groupe multiplicatif et G a = Spec(k[t]) le k-groupe additif.
Soit G un k-groupe algébrique affine. Un caractère est un homomorphisme de
k-groupes G → G m . Le groupe des caractères de G est un groupe commutatif
noté
G(k). Si G est lisse et connexe, le théorème de Rosenlicht énonce que
k[G] × = k × ×
G(k) [151, th. 3]; en d’autres mots un morphisme de k-variétés
G → G m appliquant 1 sur 1 est un homomorphisme.
1.2.1 Groupes diagonalisables et groupes de type multiplicatif
Si M désigne un groupe abélien de type fini, alors l’algèbre de groupe k[M] est
munie d’une structure naturelle d’algèbre de Hopf commutative; on note D(M) =
Spec(k[M]) le groupe algébrique commutatif affine correspondant. Un k-groupe
algébrique G est dit diagonalisable s’il est isomorphe à un k-groupe de la forme
D(M). On a un isomorphisme naturel u M : M
∼
−→
D(M)(k) (dualité de Cartier),
il induit une anti-équivalence de catégories entre la catégorie des groupes abéliens
de type fini et la catégorie des k-groupes diagonalisables.
Un k-groupe algébrique affine μ est de type multiplicatif si μ k est un k-groupe
diagonalisable; il revient au même de demander que μ k s soit diagonalisable. Si μ
est de type multiplicatif, alors μ(k s ) (souvent noté μ) est un module galoisien de
type fini (comme Z-module). La dualité de Cartier induit une anti-équivalence de
catégories entre la catégorie des modules galoisiens de type fini et la catégorie des
k-groupes de type multiplicatif (de type fini). Nous utiliserons à plusieurs reprises
le fait suivant « de rigidité ».
Lemme 1.2.1 Soient μ et μ des k-groupes de type multiplicatif. Soit K une extension de k telle que K ⊗ k k s est un corps. Alors les morphismes Hom k−gp (μ, μ ) →
Hom K−gp (μ K , μ
K ) et Isom k−gp (μ, μ ) → Isom K−gp (μ K , μ
K ) sont des isomorphismes.
Démonstration Soit K s une clôture séparable de K contenant K ⊗ k k s .
On a un morphisme surjectif π : G al(K s /k) → G al(K ⊗ k k s /K) ∼ =
G al(k s /k). Par dualité de Cartier et descente galoisienne, on a Hom k−gp
(μ, μ ) = Hom gp ( μ , μ) G al(k s /k) et de même Hom K−gp (μ K , μ
K ) =
Hom gp ( μ , μ) G al(K s /K) . Ainsi Hom k−gp (μ, μ ) → Hom K−gp (μ K , μ
K ) est un
isomorphisme. Le cas des isomorphismes est identique.
1 Généralités
Alors (χ, b) est une algèbre simple centrale de degré n [115, 30.A]. En outre,
(χ, b) est déployée (i.e. isomorphe à une k-algèbre de matrices) si et seulement
si b appartient à N k χ /k (k ×
χ ).
1.2 Groupes algébriques affines
Dans ce livre, on ne travaille qu’avec des groupes algébriques affines. On note G m =
Spec(k[t ±1 ]) le k-groupe multiplicatif et G a = Spec(k[t]) le k-groupe additif.
Soit G un k-groupe algébrique affine. Un caractère est un homomorphisme de
k-groupes G → G m . Le groupe des caractères de G est un groupe commutatif
noté
G(k). Si G est lisse et connexe, le théorème de Rosenlicht énonce que
k[G] × = k × ×
G(k) [151, th. 3]; en d’autres mots un morphisme de k-variétés
G → G m appliquant 1 sur 1 est un homomorphisme.
1.2.1 Groupes diagonalisables et groupes de type multiplicatif
Si M désigne un groupe abélien de type fini, alors l’algèbre de groupe k[M] est
munie d’une structure naturelle d’algèbre de Hopf commutative; on note D(M) =
Spec(k[M]) le groupe algébrique commutatif affine correspondant. Un k-groupe
algébrique G est dit diagonalisable s’il est isomorphe à un k-groupe de la forme
D(M). On a un isomorphisme naturel u M : M
∼
−→
D(M)(k) (dualité de Cartier),
il induit une anti-équivalence de catégories entre la catégorie des groupes abéliens
de type fini et la catégorie des k-groupes diagonalisables.
Un k-groupe algébrique affine μ est de type multiplicatif si μ k est un k-groupe
diagonalisable; il revient au même de demander que μ k s soit diagonalisable. Si μ
est de type multiplicatif, alors μ(k s ) (souvent noté μ) est un module galoisien de
type fini (comme Z-module). La dualité de Cartier induit une anti-équivalence de
catégories entre la catégorie des modules galoisiens de type fini et la catégorie des
k-groupes de type multiplicatif (de type fini). Nous utiliserons à plusieurs reprises
le fait suivant « de rigidité ».
Lemme 1.2.1 Soient μ et μ des k-groupes de type multiplicatif. Soit K une extension de k telle que K ⊗ k k s est un corps. Alors les morphismes Hom k−gp (μ, μ ) →
Hom K−gp (μ K , μ
K ) et Isom k−gp (μ, μ ) → Isom K−gp (μ K , μ
K ) sont des isomorphismes.
Démonstration Soit K s une clôture séparable de K contenant K ⊗ k k s .
On a un morphisme surjectif π : G al(K s /k) → G al(K ⊗ k k s /K) ∼ =
G al(k s /k). Par dualité de Cartier et descente galoisienne, on a Hom k−gp
(μ, μ ) = Hom gp ( μ , μ) G al(k s /k) et de même Hom K−gp (μ K , μ
K ) =
Hom gp ( μ , μ) G al(K s /K) . Ainsi Hom k−gp (μ, μ ) → Hom K−gp (μ K , μ
K ) est un
isomorphisme. Le cas des isomorphismes est identique.