1.1 Théorie de Galois
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où l’on travaille bien sûr dans Z/nZ. Par définition, on a
k χ =
x ∈ k s [Z/nZ] | s s χ x = x ∀ s ∈ Γ k
.
Alors k χ est un corps si et seulement si χ est surjectif; dans ce cas, la théorie
de Galois produit alors une suite exacte 1 → G al(k s /k χ ) → G al(k s /k)
χ
− →
Z/nZ → 1.
1.1.6 Algèbres simples centrales
Une k-algèbre A (avec unité, associative) de dimension finie est simple centrale
si A = 0, k 1 A = C(A) = {a ∈ A | ab = ba ∀b ∈ A} et si 0 et A sont
les seuls idéaux bilatères de A. Les algèbres de matrices sont des algèbres simples
centrales; le produit tensoriel de deux algèbres simples centrales est une algèbre
simple centrale [86, §2]. De plus la dimension d’une k-algèbre simple centrale A
est un carré; on l’appelle le degré de A et on le note deg(A).
Le théorème de structure de Wedderburn énonce que si A est une algèbre simple
centrale, alors A ∼ = M r (D) où D est une algèbre simple centrale à division; en outre,
la classe d’isomorphie de D est déterminée par A. L’indice de A est le degré de D
est noté ind k (A).
De façon légèrement abusive, 1 si K = k 1 × · · · × k n désigne une algèbre étale,
on dit qu’une K-algèbre A = A 1 × · · · × A n est simple centrale si chaque A i est
simple centrale sur k i ; si chaque A i est de degré d, on convient de dire que A est de
degré d.
On note Br(k) le groupe de Brauer de k; si A est une algèbre simple centrale, on
note [A] ∈ Br(k) sa classe dans le groupe de Brauer.
1.1.7 Algèbres simples centrales cycliques
Soit n un entier ≥ 1 et χ : Γ k → Z/nZ un caractère de k, c’est-à-dire un
homomorphisme continu de Γ k vers Z/nZ (non nécessairement surjectif). Si b ∈
k × , on note (χ, b) la k-algèbre (associative, avec unité) engendrée par k χ et une
indéterminée y soumise aux relations
y
n
= b, λ y = y σ (λ) σ ∈ Z/nZ, λ ∈ k χ .
1 On devrait parler en toute correctitude de K-algèbre d’Azumaya.
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où l’on travaille bien sûr dans Z/nZ. Par définition, on a
k χ =
x ∈ k s [Z/nZ] | s s χ x = x ∀ s ∈ Γ k
.
Alors k χ est un corps si et seulement si χ est surjectif; dans ce cas, la théorie
de Galois produit alors une suite exacte 1 → G al(k s /k χ ) → G al(k s /k)
χ
− →
Z/nZ → 1.
1.1.6 Algèbres simples centrales
Une k-algèbre A (avec unité, associative) de dimension finie est simple centrale
si A = 0, k 1 A = C(A) = {a ∈ A | ab = ba ∀b ∈ A} et si 0 et A sont
les seuls idéaux bilatères de A. Les algèbres de matrices sont des algèbres simples
centrales; le produit tensoriel de deux algèbres simples centrales est une algèbre
simple centrale [86, §2]. De plus la dimension d’une k-algèbre simple centrale A
est un carré; on l’appelle le degré de A et on le note deg(A).
Le théorème de structure de Wedderburn énonce que si A est une algèbre simple
centrale, alors A ∼ = M r (D) où D est une algèbre simple centrale à division; en outre,
la classe d’isomorphie de D est déterminée par A. L’indice de A est le degré de D
est noté ind k (A).
De façon légèrement abusive, 1 si K = k 1 × · · · × k n désigne une algèbre étale,
on dit qu’une K-algèbre A = A 1 × · · · × A n est simple centrale si chaque A i est
simple centrale sur k i ; si chaque A i est de degré d, on convient de dire que A est de
degré d.
On note Br(k) le groupe de Brauer de k; si A est une algèbre simple centrale, on
note [A] ∈ Br(k) sa classe dans le groupe de Brauer.
1.1.7 Algèbres simples centrales cycliques
Soit n un entier ≥ 1 et χ : Γ k → Z/nZ un caractère de k, c’est-à-dire un
homomorphisme continu de Γ k vers Z/nZ (non nécessairement surjectif). Si b ∈
k × , on note (χ, b) la k-algèbre (associative, avec unité) engendrée par k χ et une
indéterminée y soumise aux relations
y
n
= b, λ y = y σ (λ) σ ∈ Z/nZ, λ ∈ k χ .
1 On devrait parler en toute correctitude de K-algèbre d’Azumaya.