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1 Généralités
Lemme 1.1.4 Soit k /k une extension finie séparable de corps. Soit H un k -
groupe algébrique et posons H = R k /k (H ). Alors l’adjonction H k → H induit
une bijection H 1 (k, H )
∼
−→ H 1 (k , H ).
1.1.4 Algèbres étales et algèbres galoisiennes
Une k-algèbre étale est un produit k 1 × · · · × k r où chaque k i est une extension finie
séparable. Cette notion est insensible à toute extension de corps E/k.
Si Γ désigne un groupe fini, une Γ -algèbre galoisienne A est une k-algèbre étale
munie d’une action à gauche de Γ de sorte que k = A Γ et Γ = [A : k]. Un
morphisme de Γ -algèbres galoisiennes A → B est par définition un isomorphisme
de k-algèbres qui commute à G.
La k-algèbre produit k (Γ ) =
σ ∈Γ
ke σ où Γ agit sur les idempotents e σ par
τ.e σ = e τ σ est une Γ -algèbre galoisienne; on l’appelle la Γ -algèbre galoisienne
déployée. On observe que la multiplication à droite Γ → Aut(k (Γ ) ), τ.e σ → e σ τ
induit un isomorphisme de groupes Γ
∼
−→ Aut Γ (k (Γ ) ). Comme toute Γ -algèbre
galoisienne devient isomorphe à k (Γ ) après une extension galoisienne fini, la théorie
de la descente montre que H 1 (k, Γ ) classifie les classes d’isomorphie de Γ -algèbres
galoisiennes sur k [115, Th. 18.19].
Exemples 1.1.5
(a) On suppose que n ∈ k × et que k contient une racine primitive n-ième de l’unité
ζ n . Celle-ci produit un isomorphisme θ : Z/nZ
∼
−→ μ n (k). Étant donné a ∈
k × , on considère la k-algèbre étale k a,n = k[t]/(t n − a).
(b) On suppose que n = p est la caractéristique de k. Soit a ∈ k et considèrons la
k-algèbre étale k a = k[t]/(t p − t − a).
1.1.5 Caractères
Soit n un entier ≥ 1. On considère le cas Γ = Z/nZ, on dit qu’une Z/nZalgèbre galoisienne sur k est une algèbre galoisienne cyclique de degré n. Elles
sont classifiées par le groupe H 1 (k, Z/nZ) des des homomorphismes continus de
Γ k vers Z/nZ que l’on nomme aussi caractères de k de degré n.
Étant donné un caractère χ de k de degré n, on note k χ la Z/nZ-algèbre
galoisienne cyclique associée à k (voir [115, 18.19]), c’est-à-dire la tordue de la
Z/nZ algèbre galoisienne déployée k[Z/nZ] par le caractère χ. De façon plus
précise, l’action tordue de s ∈ Γ k sur k[Z/nZ] = k s e 0 ⊕ k s e 1 ⊕ · · · ⊕ k s e n−1
est définie par
s s χ
x 0 e 0 + . . . x n−1 e n−1 ) = s(x 0 )e χ(s) + · · · + s(x n−1 )e n−1+χ(s) ,
1 Généralités
Lemme 1.1.4 Soit k /k une extension finie séparable de corps. Soit H un k -
groupe algébrique et posons H = R k /k (H ). Alors l’adjonction H k → H induit
une bijection H 1 (k, H )
∼
−→ H 1 (k , H ).
1.1.4 Algèbres étales et algèbres galoisiennes
Une k-algèbre étale est un produit k 1 × · · · × k r où chaque k i est une extension finie
séparable. Cette notion est insensible à toute extension de corps E/k.
Si Γ désigne un groupe fini, une Γ -algèbre galoisienne A est une k-algèbre étale
munie d’une action à gauche de Γ de sorte que k = A Γ et Γ = [A : k]. Un
morphisme de Γ -algèbres galoisiennes A → B est par définition un isomorphisme
de k-algèbres qui commute à G.
La k-algèbre produit k (Γ ) =
σ ∈Γ
ke σ où Γ agit sur les idempotents e σ par
τ.e σ = e τ σ est une Γ -algèbre galoisienne; on l’appelle la Γ -algèbre galoisienne
déployée. On observe que la multiplication à droite Γ → Aut(k (Γ ) ), τ.e σ → e σ τ
induit un isomorphisme de groupes Γ
∼
−→ Aut Γ (k (Γ ) ). Comme toute Γ -algèbre
galoisienne devient isomorphe à k (Γ ) après une extension galoisienne fini, la théorie
de la descente montre que H 1 (k, Γ ) classifie les classes d’isomorphie de Γ -algèbres
galoisiennes sur k [115, Th. 18.19].
Exemples 1.1.5
(a) On suppose que n ∈ k × et que k contient une racine primitive n-ième de l’unité
ζ n . Celle-ci produit un isomorphisme θ : Z/nZ
∼
−→ μ n (k). Étant donné a ∈
k × , on considère la k-algèbre étale k a,n = k[t]/(t n − a).
(b) On suppose que n = p est la caractéristique de k. Soit a ∈ k et considèrons la
k-algèbre étale k a = k[t]/(t p − t − a).
1.1.5 Caractères
Soit n un entier ≥ 1. On considère le cas Γ = Z/nZ, on dit qu’une Z/nZalgèbre galoisienne sur k est une algèbre galoisienne cyclique de degré n. Elles
sont classifiées par le groupe H 1 (k, Z/nZ) des des homomorphismes continus de
Γ k vers Z/nZ que l’on nomme aussi caractères de k de degré n.
Étant donné un caractère χ de k de degré n, on note k χ la Z/nZ-algèbre
galoisienne cyclique associée à k (voir [115, 18.19]), c’est-à-dire la tordue de la
Z/nZ algèbre galoisienne déployée k[Z/nZ] par le caractère χ. De façon plus
précise, l’action tordue de s ∈ Γ k sur k[Z/nZ] = k s e 0 ⊕ k s e 1 ⊕ · · · ⊕ k s e n−1
est définie par
s s χ
x 0 e 0 + . . . x n−1 e n−1 ) = s(x 0 )e χ(s) + · · · + s(x n−1 )e n−1+χ(s) ,