1.1 Théorie de Galois
3
L’ensemble de cohomologie galoisienne H 1 (k, G) est défini comme la limite
inductive des H 1 (L/k, G) pour L parcourant les sous-extensions galoisiennes finies
de k s ; il ne dépend pas du choix de k s .
Étant donné un 1-cocycle z : Γ → G(L), on rappelle l’opération de torsion.
Étant donné une k-variété quasi-projective munie d’une action à gauche ρ :
G → Aut(X), il existe une unique k-variété z X telle que pour toute k-algèbre A
(commutativen unitaire), on a
z X(A) =
x ∈ X(A ⊗ k L) | ρ(z σ ) . σ (x) = x
.
On dispose alors d’un L-isomorphisme canonique φ X : X L
∼
−→ ( z X) L . Si σ ∈ Γ ,
le conjugué σ (φ X ) = (id z X × σ ) ◦ φ ◦ (id X × σ ) −1 satisfait σ (φ X ) = ρ(z σ ) ◦ φ X .
Considérant l’action de G sur lui-même par automorphismes intérieurs, on
dispose ainsi du k-groupe tordu z G et d’un L-isomorphisme φ = φ G : G L
∼
−→
( z G) L satisfaisant φ −1 ◦ σ (φ) = Int(z σ ).
Lemme 1.1.2 Soient H 1 , . . . , H r et M 1 , . . . , M s des k-sous-groupes de G. On pose
N = N G (H 1 ) ∩ · · · ∩ N G (H r ) ∩ N G (M 1 ) ∩ · · · ∩ N G (M s ) et C = C G (M 1 ) ∩ · · · ∩
C G (M s ). Les assertions suivantes sont équivalentes:
(a) [z] ∈ Im
H 1
Γ, (N ∩ C)(L)
→ H 1 (Γ, G(L)
;
(b) Le k-groupe tordu G = z G admet des k-sous-groupes H
1 , . . . , H
r et M 1 , . . . ,
M s tels qu’il existe g ∈ G(L) satisfaisant
H 1,L = g φ
−1 (H
1,L ) g
−1 , . . . ,H 1,L = g φ
−1 (H
r,L ) g
−1 ,
M 1,L = g φ
−1 (M
1,L ) g
−1 , . . . ,M 1,L = g φ
−1 (M
s,L ) g
−1 ,
et tel que φ ◦ int(g) : M j,L → M
j,L est Γ -invariant pour j = 1, . . . ,s.
Démonstration (a) ⇒ (b). On peut supposer que z est à valeurs dans (N ∩ C)(L).
On pose alors H
1 = z H 1 , . . . ,H r = z H r , M
1 = z M 1 , . . . ,M
s = z M s et l’assertion
(b) est satisfaite pour g = 1.
(b) ⇒ (a). Quitte à remplacer (z σ ) par le cocycle (z σ ).g −1 , on peut supposer
que g = 1. Pour chaque σ ∈ Γ , l’automorphisme int(z σ ) = φ −1 σ (φ) normalise les
H i , les M j donc z σ ∈ N(L). De plus, pour chaque j on a (φ −1 σ (φ)) |M j,L = id M j,L
donc z σ ∈ C G (M j )(L). On conclut que z σ ∈ (N ∩ C)(L).
Remarque 1.1.3 On peut passer bien sûr cet énoncé à la limite sur k s et on retrouve
alors en particulier le lemme 1 de [159, §III.2.2].
Enfin nous rappelons le lemme de Shapiro dans ce contexte [159, III.2.2, preuve
du théorème 1].
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L’ensemble de cohomologie galoisienne H 1 (k, G) est défini comme la limite
inductive des H 1 (L/k, G) pour L parcourant les sous-extensions galoisiennes finies
de k s ; il ne dépend pas du choix de k s .
Étant donné un 1-cocycle z : Γ → G(L), on rappelle l’opération de torsion.
Étant donné une k-variété quasi-projective munie d’une action à gauche ρ :
G → Aut(X), il existe une unique k-variété z X telle que pour toute k-algèbre A
(commutativen unitaire), on a
z X(A) =
x ∈ X(A ⊗ k L) | ρ(z σ ) . σ (x) = x
.
On dispose alors d’un L-isomorphisme canonique φ X : X L
∼
−→ ( z X) L . Si σ ∈ Γ ,
le conjugué σ (φ X ) = (id z X × σ ) ◦ φ ◦ (id X × σ ) −1 satisfait σ (φ X ) = ρ(z σ ) ◦ φ X .
Considérant l’action de G sur lui-même par automorphismes intérieurs, on
dispose ainsi du k-groupe tordu z G et d’un L-isomorphisme φ = φ G : G L
∼
−→
( z G) L satisfaisant φ −1 ◦ σ (φ) = Int(z σ ).
Lemme 1.1.2 Soient H 1 , . . . , H r et M 1 , . . . , M s des k-sous-groupes de G. On pose
N = N G (H 1 ) ∩ · · · ∩ N G (H r ) ∩ N G (M 1 ) ∩ · · · ∩ N G (M s ) et C = C G (M 1 ) ∩ · · · ∩
C G (M s ). Les assertions suivantes sont équivalentes:
(a) [z] ∈ Im
H 1
Γ, (N ∩ C)(L)
→ H 1 (Γ, G(L)
;
(b) Le k-groupe tordu G = z G admet des k-sous-groupes H
1 , . . . , H
r et M 1 , . . . ,
M s tels qu’il existe g ∈ G(L) satisfaisant
H 1,L = g φ
−1 (H
1,L ) g
−1 , . . . ,H 1,L = g φ
−1 (H
r,L ) g
−1 ,
M 1,L = g φ
−1 (M
1,L ) g
−1 , . . . ,M 1,L = g φ
−1 (M
s,L ) g
−1 ,
et tel que φ ◦ int(g) : M j,L → M
j,L est Γ -invariant pour j = 1, . . . ,s.
Démonstration (a) ⇒ (b). On peut supposer que z est à valeurs dans (N ∩ C)(L).
On pose alors H
1 = z H 1 , . . . ,H r = z H r , M
1 = z M 1 , . . . ,M
s = z M s et l’assertion
(b) est satisfaite pour g = 1.
(b) ⇒ (a). Quitte à remplacer (z σ ) par le cocycle (z σ ).g −1 , on peut supposer
que g = 1. Pour chaque σ ∈ Γ , l’automorphisme int(z σ ) = φ −1 σ (φ) normalise les
H i , les M j donc z σ ∈ N(L). De plus, pour chaque j on a (φ −1 σ (φ)) |M j,L = id M j,L
donc z σ ∈ C G (M j )(L). On conclut que z σ ∈ (N ∩ C)(L).
Remarque 1.1.3 On peut passer bien sûr cet énoncé à la limite sur k s et on retrouve
alors en particulier le lemme 1 de [159, §III.2.2].
Enfin nous rappelons le lemme de Shapiro dans ce contexte [159, III.2.2, preuve
du théorème 1].