2
1 Généralités
H [6, 23.2]. Ce caractère χ définit une sous-extension k 2 ⊂ K, qui est cyclique de
degré l. Ainsi [K : k 2 ] < [K : k] et le corps k 2 est lui aussi p-spécial; par récurrence
sur le degré, il suit qu’il existe une tour k = k 1 ⊂ · · · ⊂ k n−1 ⊂ k n = K telle que
chaque k i+1 /k i est une extension galoisienne cyclique de degré l.
On utilise souvent le procédé suivant de localisation en un premier l. Soit Γ (l)
un pro-l-groupe de Sylow de Γ k et k (l) = (k s ) Γ (l) le corps des points fixes.
Alors G al
k s /k (l) = Γ (l) et k (l) est donc l-spécial. Ce corps dépend du choix
d’un sous-groupe de Sylow mais ceux-ci étant Γ k -conjugués, il suit que la classe
d’isomorphisme de l’extension k (l) /k est bien définie, ce qui justifie l’abus de
notation k (l) . Ce type d’extension est appelée « Extension maximale séparable de
degré premier à l » ou encore co-l-clôture de k.
1.1.2 Restriction des scalaires à la Weil
Une k-variété désigne un k-schéma séparé de type fini. Soit L/k une extension finie
de corps et Y une L-variété quasi-projective. On dispose alors de la restriction à la
Weil R L/k (Y ) de Y à k, c’est une k-variété quasi-projective qui est caractérisée par
la propriété
R L/k (Y )(A) = Y (A ⊗ k L)
pour toute k-algèbre A [24, §7.6]. On a un morphisme d’adjonction π : R L/k (Y ) × k
L → Y .
Si Y = Y 0 × k L, on a aussi un morphisme diagonal Δ : Y 0 → R L/k (Y 0 × k
L). Enfin, si G est un L-groupe algébrique, la restriction à la Weil R L/k (G)
est naturellement un k-groupe algébrique. Pour les propriétés fonctorielles de la
restriction de Weil et leur extension au cadre schématique, nous renvoyons à
l’appendice A.5 de [53].
En particulier, si A = L 1 × · · · × L r est un produit d’extensions finies de corps,
et Y i est une L i -variété projective pour i = 1, . . . n, alors Y = Y 1 Y 2 · · ··Y n est un
A-schéma quasi-projectif et on pose R A/k (Y ) = R L 1 /k (Y 1 ) × k · · · × k R L n /k (Y n ).
1.1.3 Cohomologie galoisienne non abélienne
Soit L/k une extension galoisienne finie et posons Γ = G al(L/k). Soit G/k
un k-groupe algébrique. Alors le groupe G(L) est muni d’une action de Γ . Une
application z : Γ → G(L) est un 1-cocycle si elle satisfait la relation z σ τ =
z σ σ (z τ ) pour σ, τ ∈ Γ . On note Z 1 (Γ, G(L)) l’ensemble des 1-cocycles de Γ
à valeurs dans G(L); il est pointé par le 1-cocycle trivial. Le groupe G(L) agit
à droite sur Z 1 (Γ, G(L)) par (z σ ) . g = (g −1 z σ σ (g)); on note H 1 (L/k, G) =
H 1 (Γ, G(L)) = Z 1 (Γ, G(L))/G(L) l’ensemble pointé des orbites.
1 Généralités
H [6, 23.2]. Ce caractère χ définit une sous-extension k 2 ⊂ K, qui est cyclique de
degré l. Ainsi [K : k 2 ] < [K : k] et le corps k 2 est lui aussi p-spécial; par récurrence
sur le degré, il suit qu’il existe une tour k = k 1 ⊂ · · · ⊂ k n−1 ⊂ k n = K telle que
chaque k i+1 /k i est une extension galoisienne cyclique de degré l.
On utilise souvent le procédé suivant de localisation en un premier l. Soit Γ (l)
un pro-l-groupe de Sylow de Γ k et k (l) = (k s ) Γ (l) le corps des points fixes.
Alors G al
k s /k (l) = Γ (l) et k (l) est donc l-spécial. Ce corps dépend du choix
d’un sous-groupe de Sylow mais ceux-ci étant Γ k -conjugués, il suit que la classe
d’isomorphisme de l’extension k (l) /k est bien définie, ce qui justifie l’abus de
notation k (l) . Ce type d’extension est appelée « Extension maximale séparable de
degré premier à l » ou encore co-l-clôture de k.
1.1.2 Restriction des scalaires à la Weil
Une k-variété désigne un k-schéma séparé de type fini. Soit L/k une extension finie
de corps et Y une L-variété quasi-projective. On dispose alors de la restriction à la
Weil R L/k (Y ) de Y à k, c’est une k-variété quasi-projective qui est caractérisée par
la propriété
R L/k (Y )(A) = Y (A ⊗ k L)
pour toute k-algèbre A [24, §7.6]. On a un morphisme d’adjonction π : R L/k (Y ) × k
L → Y .
Si Y = Y 0 × k L, on a aussi un morphisme diagonal Δ : Y 0 → R L/k (Y 0 × k
L). Enfin, si G est un L-groupe algébrique, la restriction à la Weil R L/k (G)
est naturellement un k-groupe algébrique. Pour les propriétés fonctorielles de la
restriction de Weil et leur extension au cadre schématique, nous renvoyons à
l’appendice A.5 de [53].
En particulier, si A = L 1 × · · · × L r est un produit d’extensions finies de corps,
et Y i est une L i -variété projective pour i = 1, . . . n, alors Y = Y 1 Y 2 · · ··Y n est un
A-schéma quasi-projectif et on pose R A/k (Y ) = R L 1 /k (Y 1 ) × k · · · × k R L n /k (Y n ).
1.1.3 Cohomologie galoisienne non abélienne
Soit L/k une extension galoisienne finie et posons Γ = G al(L/k). Soit G/k
un k-groupe algébrique. Alors le groupe G(L) est muni d’une action de Γ . Une
application z : Γ → G(L) est un 1-cocycle si elle satisfait la relation z σ τ =
z σ σ (z τ ) pour σ, τ ∈ Γ . On note Z 1 (Γ, G(L)) l’ensemble des 1-cocycles de Γ
à valeurs dans G(L); il est pointé par le 1-cocycle trivial. Le groupe G(L) agit
à droite sur Z 1 (Γ, G(L)) par (z σ ) . g = (g −1 z σ σ (g)); on note H 1 (L/k, G) =
H 1 (Γ, G(L)) = Z 1 (Γ, G(L))/G(L) l’ensemble pointé des orbites.