Chapitre 1
Généralités
Ce premier chapitre se propose de rappeler les notions principales utilisées dans ce
livre.
1.1 Théorie de Galois
Soit k un corps. On dit qu’une propriété P concernant les k-corps est insensible à
une extension E/F si la propriété P(F ) vaut si seulement si la propriété P(E)
vaut.
Par exemple, la propriété d’être de caractéristique zéro est insensible à toute
extension de corps.
On note k s une clôture séparable de k et k une clôture algébrique de k s . On
note Γ k = G al(k s /k) le groupe de Galois absolu de k. On note p ≥ 1 l’exposant
caractéristique de k.
1.1.1 Corps l-spéciaux
Si l désigne un nombre premier, on dit que k est l-spécial si Γ k est un pro-l-groupe.
Ces corps vérifient la propriété de dévissage suivante.
Lemme 1.1.1 On suppose que k est l-spécial. Soit K/k une extension finie
séparable. Alors il existe une tour k = k 1 ⊂ k 2 · · · ⊂ k n−1 ⊂ k n = K telle
que k i+1 /k i est une extension galoisienne cyclique de degré l pour i = 1, . . . , n.
Démonstration On peut supposer que [K : k] > 1. Soit
K la clôture galoisienne de
K dans k s . Le groupe G = G al(
K/k) est un l-groupe fini et admet le sous-groupe
propre H = G al(
K/K). Il existe un caractère χ : G → Z/lZ non trivial et nul sur
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_1
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Généralités
Ce premier chapitre se propose de rappeler les notions principales utilisées dans ce
livre.
1.1 Théorie de Galois
Soit k un corps. On dit qu’une propriété P concernant les k-corps est insensible à
une extension E/F si la propriété P(F ) vaut si seulement si la propriété P(E)
vaut.
Par exemple, la propriété d’être de caractéristique zéro est insensible à toute
extension de corps.
On note k s une clôture séparable de k et k une clôture algébrique de k s . On
note Γ k = G al(k s /k) le groupe de Galois absolu de k. On note p ≥ 1 l’exposant
caractéristique de k.
1.1.1 Corps l-spéciaux
Si l désigne un nombre premier, on dit que k est l-spécial si Γ k est un pro-l-groupe.
Ces corps vérifient la propriété de dévissage suivante.
Lemme 1.1.1 On suppose que k est l-spécial. Soit K/k une extension finie
séparable. Alors il existe une tour k = k 1 ⊂ k 2 · · · ⊂ k n−1 ⊂ k n = K telle
que k i+1 /k i est une extension galoisienne cyclique de degré l pour i = 1, . . . , n.
Démonstration On peut supposer que [K : k] > 1. Soit
K la clôture galoisienne de
K dans k s . Le groupe G = G al(
K/k) est un l-groupe fini et admet le sous-groupe
propre H = G al(
K/K). Il existe un caractère χ : G → Z/lZ non trivial et nul sur
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_1
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