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Table des matières
2.1.4 Sous-groupes de Borel, couples de Killing .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.5 Systèmes de racines relatifs . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Classification par la cohomologie galoisienne .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 L’invariant ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Formes intérieures et fortement intérieures .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Cohomologie galoisienne et sous-groupes paraboliques.. . . . . 22
2.2.4 Classes de Tits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Sous-groupes réductifs de rang maximal . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Sous-groupes maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Construction de G S,T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3 Intersection de groupes paraboliques . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Résolutions flasques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Notes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Plongements de sous-groupes de type multiplicatif et leurs
centralisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Lissité des centralisateurs, sous-groupes toraux .. . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Coordonnées de Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.3 Points fixes sur la variété des couples de Killing .. . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Existence de sous-groupes, méthode de Harder . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Intersection générique de sous-groupes paraboliques .. . . . . . . . 39
3.2.2 Descente d’intersection transversale de sous-groupes
paraboliques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3 L’exemple du groupe linéaire . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.4 Cas quadratique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.5 Cas cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.6 Le cas parfait .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.7 Construction de sous-groupes par la cohomologie
galoisienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Déploiement des groupes semi-simples .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Quasi-déploiement et 0-cycles de degré 1 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Notes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Dimension cohomologique séparable . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 Groupes de normes séparables, cas des variétés de Severi-Brauer . . . 55
4.2 Rappels de cohomologie galoisienne . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Groupes de cohomologie galoisienne modifiés de Kato . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Globalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Dimension cohomologique séparable .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6 Caractérisation des corps de dimension cohomologique
séparable ≤ 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.7 Caractérisation des corps de dimension cohomologique
séparable ≤ 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.8 Conjectures I et II de Serre, le type A intérieur.. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Table des matières
2.1.4 Sous-groupes de Borel, couples de Killing .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.5 Systèmes de racines relatifs . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Classification par la cohomologie galoisienne .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 L’invariant ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Formes intérieures et fortement intérieures .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Cohomologie galoisienne et sous-groupes paraboliques.. . . . . 22
2.2.4 Classes de Tits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Sous-groupes réductifs de rang maximal . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Sous-groupes maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Construction de G S,T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3 Intersection de groupes paraboliques . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Résolutions flasques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Notes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Plongements de sous-groupes de type multiplicatif et leurs
centralisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Lissité des centralisateurs, sous-groupes toraux .. . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Coordonnées de Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.3 Points fixes sur la variété des couples de Killing .. . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Existence de sous-groupes, méthode de Harder . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Intersection générique de sous-groupes paraboliques .. . . . . . . . 39
3.2.2 Descente d’intersection transversale de sous-groupes
paraboliques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3 L’exemple du groupe linéaire . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.4 Cas quadratique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.5 Cas cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.6 Le cas parfait .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.7 Construction de sous-groupes par la cohomologie
galoisienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Déploiement des groupes semi-simples .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Quasi-déploiement et 0-cycles de degré 1 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Notes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Dimension cohomologique séparable . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 Groupes de normes séparables, cas des variétés de Severi-Brauer . . . 55
4.2 Rappels de cohomologie galoisienne . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Groupes de cohomologie galoisienne modifiés de Kato . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Globalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Dimension cohomologique séparable .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6 Caractérisation des corps de dimension cohomologique
séparable ≤ 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.7 Caractérisation des corps de dimension cohomologique
séparable ≤ 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.8 Conjectures I et II de Serre, le type A intérieur.. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71