Table des matières
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5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1 Rappels sur les groupes algébriques et leurs tores maximaux . . . . . . . . 75
5.2 Classes de conjugaison rationnelles, application à la conjecture I . . . . 77
5.3 Groupes de normes des variétés de sous-groupes de Borel . . . . . . . . . . . 81
5.4 Conjecture II, normes et isogénies . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5 Classes provenant de sous-groupes diagonalisables .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6 Application à la descente quadratique . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.7 Sur la R 1 -équivalence .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Notes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6 Conjecture II, le cas quasi-déployé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1 Groupes classiques quasi-déployés.. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Groupes exceptionnels quasi-déployés.. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7 Groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1 Formes bilinéaires et quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1.1 Formes quadratiques de Pfister . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.1.2 Algèbres de Clifford .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.1.3 Le théorème de Sivatski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.1.4 Dimension cohomologique séparable en 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.1.5 Autres formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.1.6 Le cas de type B et des groupes de spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Le cas symplectique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3 Le cas unitaire (type 2 A n−1 ) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4 Le cas de type D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4.1 Paires quadratiques et leurs relèvements hermitiens . . . . . . . . . . 107
7.4.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4.3 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.4.4 Cas où D est une k-algèbre de biquaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Notes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8 Groupes exceptionnels .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.1 Cas trialitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.1.1 Quaternions et trialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.1.2 Application à la conjecture II . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2 Type E 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.2.1 Algèbres de degré 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2.2 Application à la conjecture II . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3 Type E 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.3.1 Groupes de type E 7 , quaternions . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.3.2 Le résultat principal.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3.3 Une stratégie possible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.4 Type E 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.1 Petits indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2 Corps C 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
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5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1 Rappels sur les groupes algébriques et leurs tores maximaux . . . . . . . . 75
5.2 Classes de conjugaison rationnelles, application à la conjecture I . . . . 77
5.3 Groupes de normes des variétés de sous-groupes de Borel . . . . . . . . . . . 81
5.4 Conjecture II, normes et isogénies . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5 Classes provenant de sous-groupes diagonalisables .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6 Application à la descente quadratique . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.7 Sur la R 1 -équivalence .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Notes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6 Conjecture II, le cas quasi-déployé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1 Groupes classiques quasi-déployés.. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Groupes exceptionnels quasi-déployés.. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7 Groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1 Formes bilinéaires et quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1.1 Formes quadratiques de Pfister . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.1.2 Algèbres de Clifford .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.1.3 Le théorème de Sivatski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.1.4 Dimension cohomologique séparable en 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.1.5 Autres formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.1.6 Le cas de type B et des groupes de spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Le cas symplectique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3 Le cas unitaire (type 2 A n−1 ) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4 Le cas de type D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4.1 Paires quadratiques et leurs relèvements hermitiens . . . . . . . . . . 107
7.4.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4.3 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.4.4 Cas où D est une k-algèbre de biquaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Notes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8 Groupes exceptionnels .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.1 Cas trialitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.1.1 Quaternions et trialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.1.2 Application à la conjecture II . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2 Type E 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.2.1 Algèbres de degré 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2.2 Application à la conjecture II . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3 Type E 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.3.1 Groupes de type E 7 , quaternions . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.3.2 Le résultat principal.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3.3 Une stratégie possible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.4 Type E 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.1 Petits indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2 Corps C 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144