Table des matières
1 Généralités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Théorie de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1 Corps l-spéciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2 Restriction des scalaires à la Weil. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.3 Cohomologie galoisienne non abélienne . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.4 Algèbres étales et algèbres galoisiennes .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.5 Caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.6 Algèbres simples centrales . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.7 Algèbres simples centrales cycliques . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2 Groupes algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.1 Groupes diagonalisables et groupes de type multiplicatif . . . .
6
1.2.2 Tores .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3 Cohomologie galoisienne .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.1 Dimension cohomologique .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.2 Cohomologie galoisienne des groupes unipotents
déployés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4 Cohomologie plate .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5 Cohomologie étale, torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 Tores flasques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 R-équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1 Définition.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.2 Deux variantes: la R 0 et la R 1 -équivalence .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Groupes réductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Définitions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Groupes unipotents et résolubles.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Sous-groupes paraboliques .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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1 Généralités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Théorie de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.1 Corps l-spéciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.2 Restriction des scalaires à la Weil. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.3 Cohomologie galoisienne non abélienne . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.4 Algèbres étales et algèbres galoisiennes .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.5 Caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.6 Algèbres simples centrales . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.7 Algèbres simples centrales cycliques . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Groupes algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.1 Groupes diagonalisables et groupes de type multiplicatif . . . .
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1.2.2 Tores .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3 Cohomologie galoisienne .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3.1 Dimension cohomologique .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3.2 Cohomologie galoisienne des groupes unipotents
déployés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4 Cohomologie plate .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5 Cohomologie étale, torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 Tores flasques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 R-équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1 Définition.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.2 Deux variantes: la R 0 et la R 1 -équivalence .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Groupes réductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Définitions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Groupes unipotents et résolubles.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Sous-groupes paraboliques .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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