148
9 Applications
(ii) G est trialitaire de type D 4 (resp. E 6 , E 7 ) et son algèbre de Tits est d’indice
≤ 2 (resp. ≤ 3, ≤ 4),
alors G est isomorphe à G.
Démonstration Sous ces hypothèses, on a H 1 (k, G) = 1 et le Lemme 2.2.4 donne
la conclusion.
9.5 Autres résultats
9.5.1 La R-équivalence
Soit G un k-groupe absolument presque simple et simplement connexe. On
s’intéresse au groupe des classes G(k)/R défini au §1.6.
Exemple 9.5.1 On suppose que G = SL 1 (A) avec r ≥ 2 et A une kalgèbre simple centrale. Dans ce cas, on sait que G(k)/R ∼ = SK 1 (A) =
ker(A × Nrd A
− −− → k × )/[A × , A × ] [182, 18.4].
Conjecture 9.5.2 Sous les hypothèses précédentes, on suppose que scd l (k) ≤ 2
pour tout l ∈ S(G). Alors G(k)/R = 1.
Dans le cas de G = SL 1 (A), l’hypothèse entraîne la surjectivité des normes
réduites et un théorème de Yanchevski ˇ i montre que SK 1 (D) = 0 pour k parfait
[184]. Plus généralement, une série de résultats peut se formuler de la façon
suivante.
Théorème 9.5.3 ([79, th. 8.7]) On se place sous les hypothèses de la Conjecture 9.5.2 en supposant k de caractéristique nulle. Si G est isotrope et n’est pas
d’indice de Tits E
6,6
7,1 alors G(k)/R = 1.
9.5.2 Sous-groupes unipotents
Les cas quasi-déployés établis de la conjecture II (Th. 6.0.1 et 8.4.1.(1)) constituent
un ingrédient essentiel du résultat suivant conjecturé par J. Tits.
Théorème 9.5.4 ([78, §2.3]) On suppose que k est de caractéristique p > 0 et que
[k : k p ] ≤ p. Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe. Si p ∈ S(G),
on suppose que scd p (k) ≤ 2.
Soit Γ ⊂ G(k) un sous-groupe unipotent (i.e. tous ses éléments sont unipotents).
Alors il existe un k-sous-groupe parabolique P de G tel que Γ ⊆ R u (P )(k).
9 Applications
(ii) G est trialitaire de type D 4 (resp. E 6 , E 7 ) et son algèbre de Tits est d’indice
≤ 2 (resp. ≤ 3, ≤ 4),
alors G est isomorphe à G.
Démonstration Sous ces hypothèses, on a H 1 (k, G) = 1 et le Lemme 2.2.4 donne
la conclusion.
9.5 Autres résultats
9.5.1 La R-équivalence
Soit G un k-groupe absolument presque simple et simplement connexe. On
s’intéresse au groupe des classes G(k)/R défini au §1.6.
Exemple 9.5.1 On suppose que G = SL 1 (A) avec r ≥ 2 et A une kalgèbre simple centrale. Dans ce cas, on sait que G(k)/R ∼ = SK 1 (A) =
ker(A × Nrd A
− −− → k × )/[A × , A × ] [182, 18.4].
Conjecture 9.5.2 Sous les hypothèses précédentes, on suppose que scd l (k) ≤ 2
pour tout l ∈ S(G). Alors G(k)/R = 1.
Dans le cas de G = SL 1 (A), l’hypothèse entraîne la surjectivité des normes
réduites et un théorème de Yanchevski ˇ i montre que SK 1 (D) = 0 pour k parfait
[184]. Plus généralement, une série de résultats peut se formuler de la façon
suivante.
Théorème 9.5.3 ([79, th. 8.7]) On se place sous les hypothèses de la Conjecture 9.5.2 en supposant k de caractéristique nulle. Si G est isotrope et n’est pas
d’indice de Tits E
6,6
7,1 alors G(k)/R = 1.
9.5.2 Sous-groupes unipotents
Les cas quasi-déployés établis de la conjecture II (Th. 6.0.1 et 8.4.1.(1)) constituent
un ingrédient essentiel du résultat suivant conjecturé par J. Tits.
Théorème 9.5.4 ([78, §2.3]) On suppose que k est de caractéristique p > 0 et que
[k : k p ] ≤ p. Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe. Si p ∈ S(G),
on suppose que scd p (k) ≤ 2.
Soit Γ ⊂ G(k) un sous-groupe unipotent (i.e. tous ses éléments sont unipotents).
Alors il existe un k-sous-groupe parabolique P de G tel que Γ ⊆ R u (P )(k).