9.4 Classification des groupes semi-simples
147
Hom(Γ E , Z/lZ) = 1 pour l = 2, 3, 5. D’après la classification des sous-groupes
finis de GL 4 (Z) [55] (voir aussi [123, prop. 4.11]), Γ E est isomorphe au groupe
alterné A 5 et E est isomorphe soit à R 1
K/k (G m ), soit à R K/k (G m )/G m . On plonge
E dans un k-tore maximal T de G. De même, le quotient T /E est isomorphe soit
à R 1
L/k (G m ), soit à R L/k (G m )/G m pour une extension galoisienne finie L/k de
groupe A 5 .
D’après Steinberg, il existe un plongement T → G 0 dans la forme déployée
G 0 et un 1-cocycle z à valeurs dans T tel que G ∼ = z G 0 . Or H 1 (k, R 1
L/k (G m )) =
k × /N(L × ) = 1 sous nos hypothèses; on a H 1 (k, R L/k (G m )/G m ) ∼ = Br(L/k).
D’après Brauer [29], toute k-algèbre simple centrale de degré 5 est déployée par
une extension par radicaux de degré divisant 2 2 3 b 5, donc Br(L/k) = 0. Ainsi
H 1 (k, E) = 0 et H 1 (k, T /E) = 0 d’où H 1 (k, T ) = 0. On conclut que G est
déployé.
En mettant en regard ce fait et le Théorème 8.4.1, on en tire le
Corollaire 9.3.6 On suppose que 2, 3 et 5 sont inversibles dans k et que scd l (k) ≤
2 pour l = 2, 3, 5. Soit G un k-groupe de type E 8 qui n’est pas presque abélien.
Alors G est déployé.
Démonstration Notons G 0 le k-groupe déployé de type E 8 . On a G 0 = Aut(G 0 )
si bien que G = z (G 0 ) où z est un 1-cocycle à valeurs dans G 0 (k s ). D’après la
Proposition 9.3.5, il existe une extension finie K/k galoisienne résoluble de degré
2 a 3 b 5 c qui déploie G. Par suite, on a [z] ∈ H 1 (K/k, G 0 ). Le Théorème 8.4.1
montre que H 1 (K/k, G 0 ) = 1, ce qui permet de conclure que G est déployé.
Corollaire 9.3.7 On suppose que 2, 3 et 5 sont inversibles dans k et que scd l (k) ≤
2 pour l = 2, 3, 5. Soit G un k-groupe de type E 8 . On suppose que G admet un
k-sous-groupe μ n avec n ≥ 2. Alors G est déployé.
Démonstration Le k-sous-groupe μ n est toral (Prop. 3.1.3) et le centralisateur H =
C G (μ n ) est donc k-groupe réductif de G de rang maximal et H G . Si H n’est
pas un k-tore, alors G n’est pas presque abélien et alors G est déployé en vertu du
Corollaire 9.3.6. Si H est un k-tore, alors T est déployé (Prop. 3.1.15) et G est donc
déployé.
9.4 Classification des groupes semi-simples
Dans cette section, nous dérivons des résultats de classification.
Corollaire 9.4.1 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe. On suppose
que scd l (G) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G). Soit G une k-forme intérieure de G ayant
même classe de Tits que G. Dans les cas suivants:
(i) G est classique, de type G 2 ou F 4 ,
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Hom(Γ E , Z/lZ) = 1 pour l = 2, 3, 5. D’après la classification des sous-groupes
finis de GL 4 (Z) [55] (voir aussi [123, prop. 4.11]), Γ E est isomorphe au groupe
alterné A 5 et E est isomorphe soit à R 1
K/k (G m ), soit à R K/k (G m )/G m . On plonge
E dans un k-tore maximal T de G. De même, le quotient T /E est isomorphe soit
à R 1
L/k (G m ), soit à R L/k (G m )/G m pour une extension galoisienne finie L/k de
groupe A 5 .
D’après Steinberg, il existe un plongement T → G 0 dans la forme déployée
G 0 et un 1-cocycle z à valeurs dans T tel que G ∼ = z G 0 . Or H 1 (k, R 1
L/k (G m )) =
k × /N(L × ) = 1 sous nos hypothèses; on a H 1 (k, R L/k (G m )/G m ) ∼ = Br(L/k).
D’après Brauer [29], toute k-algèbre simple centrale de degré 5 est déployée par
une extension par radicaux de degré divisant 2 2 3 b 5, donc Br(L/k) = 0. Ainsi
H 1 (k, E) = 0 et H 1 (k, T /E) = 0 d’où H 1 (k, T ) = 0. On conclut que G est
déployé.
En mettant en regard ce fait et le Théorème 8.4.1, on en tire le
Corollaire 9.3.6 On suppose que 2, 3 et 5 sont inversibles dans k et que scd l (k) ≤
2 pour l = 2, 3, 5. Soit G un k-groupe de type E 8 qui n’est pas presque abélien.
Alors G est déployé.
Démonstration Notons G 0 le k-groupe déployé de type E 8 . On a G 0 = Aut(G 0 )
si bien que G = z (G 0 ) où z est un 1-cocycle à valeurs dans G 0 (k s ). D’après la
Proposition 9.3.5, il existe une extension finie K/k galoisienne résoluble de degré
2 a 3 b 5 c qui déploie G. Par suite, on a [z] ∈ H 1 (K/k, G 0 ). Le Théorème 8.4.1
montre que H 1 (K/k, G 0 ) = 1, ce qui permet de conclure que G est déployé.
Corollaire 9.3.7 On suppose que 2, 3 et 5 sont inversibles dans k et que scd l (k) ≤
2 pour l = 2, 3, 5. Soit G un k-groupe de type E 8 . On suppose que G admet un
k-sous-groupe μ n avec n ≥ 2. Alors G est déployé.
Démonstration Le k-sous-groupe μ n est toral (Prop. 3.1.3) et le centralisateur H =
C G (μ n ) est donc k-groupe réductif de G de rang maximal et H G . Si H n’est
pas un k-tore, alors G n’est pas presque abélien et alors G est déployé en vertu du
Corollaire 9.3.6. Si H est un k-tore, alors T est déployé (Prop. 3.1.15) et G est donc
déployé.
9.4 Classification des groupes semi-simples
Dans cette section, nous dérivons des résultats de classification.
Corollaire 9.4.1 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe. On suppose
que scd l (G) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G). Soit G une k-forme intérieure de G ayant
même classe de Tits que G. Dans les cas suivants:
(i) G est classique, de type G 2 ou F 4 ,