146
9 Applications
Lemme 9.3.2 Soit k un corps parfait satisfaisant scd l (k) ≤ 2 pour l = 2, 3, 5.
On suppose que l’extension résoluble maximale K de k de degré 2 a 3 b 5 c satisfait
scd l (k) ≤ 1 pour l = 2, 3, 5. Alors H 1 (k, G 0 ) = 1 où G 0 désigne le k-groupe
déployé de type E 8 .
Démonstration La conjecture I (i.e. Th. 5.2.5) montre que H 1 (K, G) = 1. Ainsi
H 1 (k, G 0 ) = H 1 (K/k, G 0 ). Étant donné [X] ∈ H 1 (K/k, G), il existe une
sous-extension finie L/k de K/k telle que X(L) = ∅. Alors L/k est une tour
d’extensions cycliques de degrés 2, 3 ou 5. Le Théorème 8.4.1.(b) montre que
H 1 (L/k, G 0 ) = 1 et partant que [X] = 1 ∈ H 1 (k, G).
Remarques 9.3.3
(a) L’hypothèse sur k est clairement impliquée par le fait k ab de dimension
séparable ≤ 1.
(b) Cela donne la conjecture II pour E 8 sur un corps comme C((x))(t) [49, Th.
1.4].
9.3.3 Groupes presque abéliens
Nous souhaitons discuter un thème de Tits.
Définition 9.3.4 Soit G un k-groupe réductif. On dit que G est presque abélien si
tout k-sous-groupe réductif H non trivial et propre de G est un k-tore maximal.
En caractéristique zéro, ceci revient à demander que tout k-sous-groupe connexe
H non trivial et propre de G est un k-tore maximal. Cette propriété a été introduite
par J. Tits pour les groupes de type E 8 [178] et étudiée par S. Garibaldi et l’auteur
[71]. Nous sommes intéressés principalement par le cas de type E 8 où nous avons
dégagé la proposition suivante de la démonstration de Tits de l’existence de groupes
de type E 8 qui ne sont pas presque abéliens.
Proposition 9.3.5 On suppose que 2, 3 et 5 sont inversibles dans k. Soit G un
k-groupe de type E 8 qui n’est pas presque abélien. Alors G est déployé par une
extension finie galoisienne résoluble de degré 2 a 3 b 5 c .
Démonstration On peut supposer que k n’admet aucune extension finie galoisienne
résoluble de degré 2 a 3 b 5 c . Par hypothèse, G n’est pas presque abélien, il admet un
sous-groupe semi-simple propre de rang 8 presque simple ou un k-tore de dimension
1, 2, 3, 4. Si G admet un sous-groupe semi-simple propre de rang 8 et presque
simple H , alors H est nécessairement une forme intérieure, donc de type A 8 , B 8 , C 8
ou D 8 . Ainsi H est déployé d’après la Proposition 3.3.4 donc G aussi.
On suppose maintenant que G admet k-tore E de dimension 1, 2, 3, 4. Dans le
cas de dimension 1,2,3, le lemme 3 de [178] indique que G est déployé.
Il reste à considérer le cas où E est de dimension 4. Le groupe de Galois Γ E
de l’extension minimale K/k déployant E est un sous-groupe de GL 4 (Z) tel que
9 Applications
Lemme 9.3.2 Soit k un corps parfait satisfaisant scd l (k) ≤ 2 pour l = 2, 3, 5.
On suppose que l’extension résoluble maximale K de k de degré 2 a 3 b 5 c satisfait
scd l (k) ≤ 1 pour l = 2, 3, 5. Alors H 1 (k, G 0 ) = 1 où G 0 désigne le k-groupe
déployé de type E 8 .
Démonstration La conjecture I (i.e. Th. 5.2.5) montre que H 1 (K, G) = 1. Ainsi
H 1 (k, G 0 ) = H 1 (K/k, G 0 ). Étant donné [X] ∈ H 1 (K/k, G), il existe une
sous-extension finie L/k de K/k telle que X(L) = ∅. Alors L/k est une tour
d’extensions cycliques de degrés 2, 3 ou 5. Le Théorème 8.4.1.(b) montre que
H 1 (L/k, G 0 ) = 1 et partant que [X] = 1 ∈ H 1 (k, G).
Remarques 9.3.3
(a) L’hypothèse sur k est clairement impliquée par le fait k ab de dimension
séparable ≤ 1.
(b) Cela donne la conjecture II pour E 8 sur un corps comme C((x))(t) [49, Th.
1.4].
9.3.3 Groupes presque abéliens
Nous souhaitons discuter un thème de Tits.
Définition 9.3.4 Soit G un k-groupe réductif. On dit que G est presque abélien si
tout k-sous-groupe réductif H non trivial et propre de G est un k-tore maximal.
En caractéristique zéro, ceci revient à demander que tout k-sous-groupe connexe
H non trivial et propre de G est un k-tore maximal. Cette propriété a été introduite
par J. Tits pour les groupes de type E 8 [178] et étudiée par S. Garibaldi et l’auteur
[71]. Nous sommes intéressés principalement par le cas de type E 8 où nous avons
dégagé la proposition suivante de la démonstration de Tits de l’existence de groupes
de type E 8 qui ne sont pas presque abéliens.
Proposition 9.3.5 On suppose que 2, 3 et 5 sont inversibles dans k. Soit G un
k-groupe de type E 8 qui n’est pas presque abélien. Alors G est déployé par une
extension finie galoisienne résoluble de degré 2 a 3 b 5 c .
Démonstration On peut supposer que k n’admet aucune extension finie galoisienne
résoluble de degré 2 a 3 b 5 c . Par hypothèse, G n’est pas presque abélien, il admet un
sous-groupe semi-simple propre de rang 8 presque simple ou un k-tore de dimension
1, 2, 3, 4. Si G admet un sous-groupe semi-simple propre de rang 8 et presque
simple H , alors H est nécessairement une forme intérieure, donc de type A 8 , B 8 , C 8
ou D 8 . Ainsi H est déployé d’après la Proposition 3.3.4 donc G aussi.
On suppose maintenant que G admet k-tore E de dimension 1, 2, 3, 4. Dans le
cas de dimension 1,2,3, le lemme 3 de [178] indique que G est déployé.
Il reste à considérer le cas où E est de dimension 4. Le groupe de Galois Γ E
de l’extension minimale K/k déployant E est un sous-groupe de GL 4 (Z) tel que