9.3 Élucubrations autour de E 8
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9.3 Élucubrations autour de E 8
Dans cette section, nous montrons comment des réponses positives à des questions
de Serre (resp. Bogomolov) entraînent la conjecture II pour les groupes de type E 8 .
9.3.1 Question d’injectivité de Serre
Serre a posé la question suivante [158, §2.4]: Soient G un k-groupe réductif et
k 1 , . . . , k r des extensions finies de k telles que p.g.c.d([k i : k]) = 1. Est-il vrai
que l’application de restriction
H
1 (k, G) →
r
i=1
H
1 (k i , G)
a un noyau trivial ? Il y a de nombreux résultats positifs sur cette question: BayerFluckiger/Lenstra pour les groupes unitaires [10], Black et Bhaskhar pour les
groupes classiques [16, 17]. Dans le cas quasi-déployé, la réponse est positive si G 0
est semi-simple sans facteur de type E 8 , comme on l’a vu avec le Théorème 3.4.1.
Lemme 9.3.1 Soit k un corps satisfaisant scd l (k) ≤ 2 pour l = 2, 3, 5. On suppose
que le groupe déployé G 0 de type E 8 satisfait les conclusions de la question de Serre
pour k. Alors H 1 (k, G 0 ) = 1.
Démonstration La preuve est standard. Soit X un G-torseur et soit k 0 /k une
extension finie telle que X(k 0 ) = ∅. On note p 1 , . . . , p r les diviseurs premiers
de [k 0 : k]. Pour i = 1, . . . , r, le Théorème 8.4.1.(a) montre qu’il existe une
extension finie (séparable) k i /k de degré premier à p i tel que X(k i ) = ∅. Alors on
a p.g.c.d([k i : k]) = 1 et [X] appartient au noyau de H 1 (k, G) →
r
i=0
H 1 (k i , G).
Par suite, notre hypothèse entraîne que [X] = 1 ∈ H 1 (k, G).
9.3.2 Question de Bogomolov
La théorie du corps de classes établit que la clôture abélienne Q ab de Q est le corps
des nombres cyclotomiques et qu’il est de dimension cohomologique 1. Bogomolov
a posé la question pour un corps parfait arbitraire k, à savoir détablir que k ab est de
dimension cohomologique ≤ 1. La réponse à cette question est connue pour les
corps k 0 (t) où k 0 est un corps pseudo-algébriquement clos (Jarden-Pop [101, 1.6]).
Dans l’article [40], nous avons remarqué un lien avec la conjecture II. En effet, la
conjecture de Bogomolov entraîne a fortiori que l’extension l-résoluble maximale
de k est de l-dimension cohomologique ≤ 1 pour chaque premier l.
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9.3 Élucubrations autour de E 8
Dans cette section, nous montrons comment des réponses positives à des questions
de Serre (resp. Bogomolov) entraînent la conjecture II pour les groupes de type E 8 .
9.3.1 Question d’injectivité de Serre
Serre a posé la question suivante [158, §2.4]: Soient G un k-groupe réductif et
k 1 , . . . , k r des extensions finies de k telles que p.g.c.d([k i : k]) = 1. Est-il vrai
que l’application de restriction
H
1 (k, G) →
r
i=1
H
1 (k i , G)
a un noyau trivial ? Il y a de nombreux résultats positifs sur cette question: BayerFluckiger/Lenstra pour les groupes unitaires [10], Black et Bhaskhar pour les
groupes classiques [16, 17]. Dans le cas quasi-déployé, la réponse est positive si G 0
est semi-simple sans facteur de type E 8 , comme on l’a vu avec le Théorème 3.4.1.
Lemme 9.3.1 Soit k un corps satisfaisant scd l (k) ≤ 2 pour l = 2, 3, 5. On suppose
que le groupe déployé G 0 de type E 8 satisfait les conclusions de la question de Serre
pour k. Alors H 1 (k, G 0 ) = 1.
Démonstration La preuve est standard. Soit X un G-torseur et soit k 0 /k une
extension finie telle que X(k 0 ) = ∅. On note p 1 , . . . , p r les diviseurs premiers
de [k 0 : k]. Pour i = 1, . . . , r, le Théorème 8.4.1.(a) montre qu’il existe une
extension finie (séparable) k i /k de degré premier à p i tel que X(k i ) = ∅. Alors on
a p.g.c.d([k i : k]) = 1 et [X] appartient au noyau de H 1 (k, G) →
r
i=0
H 1 (k i , G).
Par suite, notre hypothèse entraîne que [X] = 1 ∈ H 1 (k, G).
9.3.2 Question de Bogomolov
La théorie du corps de classes établit que la clôture abélienne Q ab de Q est le corps
des nombres cyclotomiques et qu’il est de dimension cohomologique 1. Bogomolov
a posé la question pour un corps parfait arbitraire k, à savoir détablir que k ab est de
dimension cohomologique ≤ 1. La réponse à cette question est connue pour les
corps k 0 (t) où k 0 est un corps pseudo-algébriquement clos (Jarden-Pop [101, 1.6]).
Dans l’article [40], nous avons remarqué un lien avec la conjecture II. En effet, la
conjecture de Bogomolov entraîne a fortiori que l’extension l-résoluble maximale
de k est de l-dimension cohomologique ≤ 1 pour chaque premier l.