144
9 Applications
Remarque 9.1.2
(a) De Jong a montré plus généralement que p´ er k (A) = ind k (A) pour un corps
k = k 0 (X) comme précédemment [56].
(b) La méthode s’applique pour d’autres corps, par exemple k 0 ((x))((y)),
k 0 ((x, y)) ou encore k 0 (x)((y)), voir [49, §1].
9.2 Corps C 2
Nous rappelons les définitions suivantes, dues respectivement à Tsen et à Artin.
Définition 9.2.1 Soit d un entier, d ≥ 0.
(1) Le corps k est dit de classe C d si pour tout polynôme homogène P (x 1 , . . . , x n )
de degré r satisfaisant n > r d , il existe un n-uplet (t 1 , . . . , t n ) ∈ k n tel que
P (t 1 , . . . , t n ) = 0.
(2) Le corps k est dit de classe C
d si pour tout système de polynômes homogènes
P i (x 1 , . . . , x n ) (i = 1, . . . , s) satisfaisant n >
s
i=1 deg(P i ) d , il existe un nuplet (t 1 , . . . , t n ) ∈ k n tel que P i (t 1 , . . . , t n ) = 0 pour i = 1, . . . , s.
De façon évidente, la condition C
d est plus forte que C d . Ces deux propriétés
jouissent de propriétés de transition par extension finie et extension de type fini
([159, II.4], [148, §5]). Puisque la propriété C 2 entraîne la surjectivité des normes
réduites, une conséquence de la caractérisation de Suslin (th. 4.7.1) de la propriété
scd(k) ≤ 2 est la suivante.
Corollaire 9.2.2 On suppose que k est de classe C 2 . Alors scd(k) ≤ 2.
Remarque 9.2.3 Il est attendu que si k est classe C d , alors scd(k) ≤ d. On sait
que scd 2 (k) ≤ d si k est d’exposant caractéristique = 2 comme conséquence du
théorème de Voevodsky (conjecture de Milnor) [158, p. 99]. Par ailleurs, Arason
et Baeza ont montré que scd p (k) ≤ d si k est de caractéristique p > 0 [4]. Le cas
général est ouvert et on dispose cependant des estimations de Krashen-Matzri [118].
Théorème 9.2.4 (Artin-Harris, [5, th]) On suppose que k satisfait la propriété
C 2 . Soit A une k-algèbre simple centrale d’indice 2 a , alors p´ er k (A) = 2 a .
Ce théorème et nos résultats permettent de d’obtenir la variante suivante du
Corollaire 9.1.1.
Corollaire 9.2.5 Soit l un nombre premier. On suppose que k est l-spécial et
satisfait la propriété C 2 . Soit G un groupe semi-simple simplement connexe. Alors
H 1 (k, G) = 1.
9 Applications
Remarque 9.1.2
(a) De Jong a montré plus généralement que p´ er k (A) = ind k (A) pour un corps
k = k 0 (X) comme précédemment [56].
(b) La méthode s’applique pour d’autres corps, par exemple k 0 ((x))((y)),
k 0 ((x, y)) ou encore k 0 (x)((y)), voir [49, §1].
9.2 Corps C 2
Nous rappelons les définitions suivantes, dues respectivement à Tsen et à Artin.
Définition 9.2.1 Soit d un entier, d ≥ 0.
(1) Le corps k est dit de classe C d si pour tout polynôme homogène P (x 1 , . . . , x n )
de degré r satisfaisant n > r d , il existe un n-uplet (t 1 , . . . , t n ) ∈ k n tel que
P (t 1 , . . . , t n ) = 0.
(2) Le corps k est dit de classe C
d si pour tout système de polynômes homogènes
P i (x 1 , . . . , x n ) (i = 1, . . . , s) satisfaisant n >
s
i=1 deg(P i ) d , il existe un nuplet (t 1 , . . . , t n ) ∈ k n tel que P i (t 1 , . . . , t n ) = 0 pour i = 1, . . . , s.
De façon évidente, la condition C
d est plus forte que C d . Ces deux propriétés
jouissent de propriétés de transition par extension finie et extension de type fini
([159, II.4], [148, §5]). Puisque la propriété C 2 entraîne la surjectivité des normes
réduites, une conséquence de la caractérisation de Suslin (th. 4.7.1) de la propriété
scd(k) ≤ 2 est la suivante.
Corollaire 9.2.2 On suppose que k est de classe C 2 . Alors scd(k) ≤ 2.
Remarque 9.2.3 Il est attendu que si k est classe C d , alors scd(k) ≤ d. On sait
que scd 2 (k) ≤ d si k est d’exposant caractéristique = 2 comme conséquence du
théorème de Voevodsky (conjecture de Milnor) [158, p. 99]. Par ailleurs, Arason
et Baeza ont montré que scd p (k) ≤ d si k est de caractéristique p > 0 [4]. Le cas
général est ouvert et on dispose cependant des estimations de Krashen-Matzri [118].
Théorème 9.2.4 (Artin-Harris, [5, th]) On suppose que k satisfait la propriété
C 2 . Soit A une k-algèbre simple centrale d’indice 2 a , alors p´ er k (A) = 2 a .
Ce théorème et nos résultats permettent de d’obtenir la variante suivante du
Corollaire 9.1.1.
Corollaire 9.2.5 Soit l un nombre premier. On suppose que k est l-spécial et
satisfait la propriété C 2 . Soit G un groupe semi-simple simplement connexe. Alors
H 1 (k, G) = 1.