Chapitre 9
Applications
Comme on l’a vu notamment avec les groupes classiques, l’application principale de
la conjecture II de Serre est la classification des groupes algébriques semi-simples
sur les corps correspondants. Nous passons ici en revue quelques applications et
discutons des questions liées, la question d’injectivité de Serre et la question de
Bogomolov sur la structure des groupes de Galois absolus. Dans chaque cas, une
réponse positive permettrait de trancher le cas de E 8 pour la conjecture II.
9.1 Petits indices
On a vu que la complexité des démonstrations croît avec les indices des algèbres
simples centrales en jeu, c’est-à-dire des algèbres de Tits. Si A est une k-algèbre
simple centrale, on sait d’après Brauer que la période p´ er k (A) divise l’indice
ind k (A). Pour certains corps (e.g. corps locaux et globaux), on a p´ er k (A) = ind k (A)
mais ce n’est pas le cas pour des corps “généraux” de dimension cohomologique 2
(Merkurjev, [131]). Une conséquence de tous les cas particuliers traités dans les
sections précédentes est la suivante.
Corollaire 9.1.1 Soit G un groupe semi-simple simplement connexe sans facteur
de type E 8 . On suppose que pour tout l ∈ S(G) que scd l (k) ≤ 2 et que pour toute
extension finie séparable L/k et pour toute L-algèbre simple centrale A de degré
2 a 3 b , on a p´ er L (A) = ind L (A). Alors H 1 (k, G) = 1.
Les hypothèses sont satisfaites pour un corps k = k 0 (X) où k 0 est un corps
algébriquement clos et X/k 0 une surface algébrique [5, appendix]. Ceci donne une
preuve de la conjecture II pour ce type de corps hormis le cas de E 8 . Pour ce type de
corps, la conjecture II (incluant E 8 ) a été établie par de Jong, He et Starr [57] avec
des méthodes de géométrie algébrique; voir aussi l’exposé de Voisin [181].
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_9
143
Applications
Comme on l’a vu notamment avec les groupes classiques, l’application principale de
la conjecture II de Serre est la classification des groupes algébriques semi-simples
sur les corps correspondants. Nous passons ici en revue quelques applications et
discutons des questions liées, la question d’injectivité de Serre et la question de
Bogomolov sur la structure des groupes de Galois absolus. Dans chaque cas, une
réponse positive permettrait de trancher le cas de E 8 pour la conjecture II.
9.1 Petits indices
On a vu que la complexité des démonstrations croît avec les indices des algèbres
simples centrales en jeu, c’est-à-dire des algèbres de Tits. Si A est une k-algèbre
simple centrale, on sait d’après Brauer que la période p´ er k (A) divise l’indice
ind k (A). Pour certains corps (e.g. corps locaux et globaux), on a p´ er k (A) = ind k (A)
mais ce n’est pas le cas pour des corps “généraux” de dimension cohomologique 2
(Merkurjev, [131]). Une conséquence de tous les cas particuliers traités dans les
sections précédentes est la suivante.
Corollaire 9.1.1 Soit G un groupe semi-simple simplement connexe sans facteur
de type E 8 . On suppose que pour tout l ∈ S(G) que scd l (k) ≤ 2 et que pour toute
extension finie séparable L/k et pour toute L-algèbre simple centrale A de degré
2 a 3 b , on a p´ er L (A) = ind L (A). Alors H 1 (k, G) = 1.
Les hypothèses sont satisfaites pour un corps k = k 0 (X) où k 0 est un corps
algébriquement clos et X/k 0 une surface algébrique [5, appendix]. Ceci donne une
preuve de la conjecture II pour ce type de corps hormis le cas de E 8 . Pour ce type de
corps, la conjecture II (incluant E 8 ) a été établie par de Jong, He et Starr [57] avec
des méthodes de géométrie algébrique; voir aussi l’exposé de Voisin [181].
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_9
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