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8 Groupes exceptionnels
Puisque H 1 (k, SL 5 × SL 5 ) = 1, il induit le diagramme commutatif
d’ensembles pointés
1
H 1 (k, H 0 )
∂
H 2
fppf (k, μ 5 )
(×2,×3)
1
H 1 (k, PGL 5 ) × H 1 (k, PGL 5 )
H 2
fppf (k, μ 5 ) × H 2
fppf (k, μ 5 ).
Soit [z] ∈ H 1 (k, H 0 ). Le diagramme indique que ∂([z]) provient de
H 1 (k, PGL 5 ) et est donc la classe d’une algèbre cyclique D/k. Par suite, il
existe une extension cyclique L/k d’ordre 5 tuant ∂([z]) et telle que le tore
R L/k (G m ) × R L/k (G m ) soit un tore maximal de λ ∗ (z) (PGL 5 × PGL 5 ). Alors le
tore T = λ −1
R L/k (G m ) × R L/k (G m )
est un sous-tore maximal de z H 0 . Le
théorème de Steinberg montre l’existence d’un plongement T T→ H 0 tel que [z]
appartienne à l’image de de H 1 (k, T ) → H 1 (k, H 0 ). Comme T /k est un k-tore
maximal de G 0 /k déployé par l’extension cyclique L/k, le Corollaire 5.5.3
permet de conclure que l’application H 1 (k, T ) → H 1 (k, G 0 ) est nulle et ainsi
l’image de [z] dans H 1 (k, G 0 ) est triviale.
(2) Par récurrence, on se ramène au cas où L/k est une extension cyclique d’ordre
2, 3, 5. Le cas de degré 2 résulte du Corollaire 5.5.3.
Cas de degré 3. On veut montrer que H 1 (L/k, G 0 ) = 1. Le cas de degré 2 nous
permet de supposer que H 1 (k, Z/2Z) = 0. Soit [z] ∈ H 1 (L/k, G 0 ) et on a vu
que l’on peut supposer cette classe anisotrope. Le Lemme 8.4.2 ci-dessus indique
que toute classe de H 1 (L/k, G 0 ) an provient du sous-groupe maximal déployé
H 0 de type E 6 × A 2 . La Remarque 8.4.3 ci-dessous sur la démonstation du (1)
indique que H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, G 0 ) est triviale. On conclut que [z] = 1.
Cas de degré 5. Les cas p = 2 et p = 3 nous permettent de supposer que k ne
possède pas d’extension propre de degré 2 a 3 b . Soit L/k une extension cyclique
de degré 5. Soit [z] ∈ H 1 (L/k, G 0 ) et G le groupe tordu par z. On suppose
G anisotrope et on veut montrer que G possède un k-tore maximal déployé par
L/k. Suivant un théorème de Chernousov [36], on sait que G admet un sousgroupe semi-simple H de type A 4 déployé par L/k. Le groupe H est isogène
à SL 1 (D) pour une algèbre simple centrale cyclique D d’indice 5 déployée par
L/k. Il existe donc un tore S/k de rang 4 de H déployé par L/k. Le groupe
DC G (S) est un groupe semi-simple simplement connexe anisotrope de rang ≤ 4,
qui est déployé par L/k. Si DC G (S) = 1, alors C G (S) est un k-tore maximal
de G déployé par L/k. Si DC G (S) = 1, le type A 4 est la seule possibilité pour
DC G (S). Le même raisonnement que précédemment fournit un tore S /k de
rang 4 déployé par L/k et le tore composé T = S.S est un k-tore maximal
de G déployé par L/k. D’après le théorème de Steinberg, [z] appartient à
l’image de H 1 (k, T ) → H 1 (k, G). Le Corollaire 5.5.3 montre que l’application
H 1 (k, T ) → H 1 (k, G) est triviale. On conclut que [z] = 1 ∈ H 1 (k, G).
8 Groupes exceptionnels
Puisque H 1 (k, SL 5 × SL 5 ) = 1, il induit le diagramme commutatif
d’ensembles pointés
1
H 1 (k, H 0 )
∂
H 2
fppf (k, μ 5 )
(×2,×3)
1
H 1 (k, PGL 5 ) × H 1 (k, PGL 5 )
H 2
fppf (k, μ 5 ) × H 2
fppf (k, μ 5 ).
Soit [z] ∈ H 1 (k, H 0 ). Le diagramme indique que ∂([z]) provient de
H 1 (k, PGL 5 ) et est donc la classe d’une algèbre cyclique D/k. Par suite, il
existe une extension cyclique L/k d’ordre 5 tuant ∂([z]) et telle que le tore
R L/k (G m ) × R L/k (G m ) soit un tore maximal de λ ∗ (z) (PGL 5 × PGL 5 ). Alors le
tore T = λ −1
R L/k (G m ) × R L/k (G m )
est un sous-tore maximal de z H 0 . Le
théorème de Steinberg montre l’existence d’un plongement T T→ H 0 tel que [z]
appartienne à l’image de de H 1 (k, T ) → H 1 (k, H 0 ). Comme T /k est un k-tore
maximal de G 0 /k déployé par l’extension cyclique L/k, le Corollaire 5.5.3
permet de conclure que l’application H 1 (k, T ) → H 1 (k, G 0 ) est nulle et ainsi
l’image de [z] dans H 1 (k, G 0 ) est triviale.
(2) Par récurrence, on se ramène au cas où L/k est une extension cyclique d’ordre
2, 3, 5. Le cas de degré 2 résulte du Corollaire 5.5.3.
Cas de degré 3. On veut montrer que H 1 (L/k, G 0 ) = 1. Le cas de degré 2 nous
permet de supposer que H 1 (k, Z/2Z) = 0. Soit [z] ∈ H 1 (L/k, G 0 ) et on a vu
que l’on peut supposer cette classe anisotrope. Le Lemme 8.4.2 ci-dessus indique
que toute classe de H 1 (L/k, G 0 ) an provient du sous-groupe maximal déployé
H 0 de type E 6 × A 2 . La Remarque 8.4.3 ci-dessous sur la démonstation du (1)
indique que H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, G 0 ) est triviale. On conclut que [z] = 1.
Cas de degré 5. Les cas p = 2 et p = 3 nous permettent de supposer que k ne
possède pas d’extension propre de degré 2 a 3 b . Soit L/k une extension cyclique
de degré 5. Soit [z] ∈ H 1 (L/k, G 0 ) et G le groupe tordu par z. On suppose
G anisotrope et on veut montrer que G possède un k-tore maximal déployé par
L/k. Suivant un théorème de Chernousov [36], on sait que G admet un sousgroupe semi-simple H de type A 4 déployé par L/k. Le groupe H est isogène
à SL 1 (D) pour une algèbre simple centrale cyclique D d’indice 5 déployée par
L/k. Il existe donc un tore S/k de rang 4 de H déployé par L/k. Le groupe
DC G (S) est un groupe semi-simple simplement connexe anisotrope de rang ≤ 4,
qui est déployé par L/k. Si DC G (S) = 1, alors C G (S) est un k-tore maximal
de G déployé par L/k. Si DC G (S) = 1, le type A 4 est la seule possibilité pour
DC G (S). Le même raisonnement que précédemment fournit un tore S /k de
rang 4 déployé par L/k et le tore composé T = S.S est un k-tore maximal
de G déployé par L/k. D’après le théorème de Steinberg, [z] appartient à
l’image de H 1 (k, T ) → H 1 (k, G). Le Corollaire 5.5.3 montre que l’application
H 1 (k, T ) → H 1 (k, G) est triviale. On conclut que [z] = 1 ∈ H 1 (k, G).