8.4 Type E 8
139
On considère le sous-groupe semi-simple H 0 associé à la racine α 2 du
diagramme de Dynkin Le groupe H 0 est de type E 6 × SL 3 et si E 6 /k désigne le
groupe de Chevalley simplement connexe de type E 6 , on a H 0 ≈ (E 6 ×SL 3 )/μ 3
où μ 3 se plonge diagonalement dans E 6 × SL 3 . C’est le moment d’appliquer
le Lemme 8.4.2 précédent; ainsi l’application H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, G 0 ) est
surjective. On a le diagramme commutatif
1
μ 3
Δ
E 6 × SL 3
H 0
1
1
μ 3 × μ 3
E 6 × SL 3
E 6 /μ 3 × PGL 3
1;
il induit le diagramme
H 1 (k, H 0 )
∂
H 2
fppf (k, μ 3 )
Δ
H 1 (k, E 6 /μ 3 ) × H 1 (k, PGL 3 )
H 2
fppf (k, μ 3 ) × H 2
fppf (k, μ 3 ).
Soit [z] ∈ H 1 (k, H 0 ). Le diagramme indique que δ([z]) provient de
H 1 (k, PGL 3 ) et est donc la classe d’une algèbre cyclique. Par suite, il existe
une extension cyclique L/k d’ordre 3 tuant ∂([z]). D’après le théorème 6.0.1,
on sait que le noyau de H 1 (L, H 0 ) → H 2
fppf (L, μ 3 ) est trivial, ainsi l’extension
L/k tue [z]. Le groupe semi-simple z H 0 est donc déployé par L/k et d’après
la Proposition 3.2.11, on sait qu’il admet un k-tore maximal T /k déployé par
L/k. Le théorème de Steinberg montre l’existence d’un plongement T T→ H 0
tel que [z] appartienne à l’image de de H 1 (k, T ) → H 1 (k, H 0 ). Comme T /k
est un k-tore maximal de G 0 /k, le Corollaire 5.5.3 conclut que l’application
H 1 (k, T ) → H 1 (k, G 0 ) est nulle et l’image de [z] dans H 1 (k, G 0 ) est donc
triviale.
Passons au cas p = 5. On considère le sous-groupe semi-simple H 0 associé
à la racine α 4 du diagramme de Dynkin de type E 8 ci-dessus. On sait que H 0 =
(SL 5 ×SL 5 )/μ où μ = Ker(μ 5
(×2,×3)
− − → μ 5 ×μ 5 ) ≈ μ 5 d’après le §1.7 de [177].
Le groupe de Weyl de H 0 est donc le produit semi-direct de S 5 × S 5 par Z/2 et
le §3.2.7 montre que l’application H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, G 0 ) est surjective. On
a le diagramme commutatif
1
μ 5
(×2,×3)
SL 5 × SL 5
H 0
1
1
μ 5 × μ 5
SL 5 × SL 5
PGL 5 × PGL 5
1.
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On considère le sous-groupe semi-simple H 0 associé à la racine α 2 du
diagramme de Dynkin Le groupe H 0 est de type E 6 × SL 3 et si E 6 /k désigne le
groupe de Chevalley simplement connexe de type E 6 , on a H 0 ≈ (E 6 ×SL 3 )/μ 3
où μ 3 se plonge diagonalement dans E 6 × SL 3 . C’est le moment d’appliquer
le Lemme 8.4.2 précédent; ainsi l’application H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, G 0 ) est
surjective. On a le diagramme commutatif
1
μ 3
Δ
E 6 × SL 3
H 0
1
1
μ 3 × μ 3
E 6 × SL 3
E 6 /μ 3 × PGL 3
1;
il induit le diagramme
H 1 (k, H 0 )
∂
H 2
fppf (k, μ 3 )
Δ
H 1 (k, E 6 /μ 3 ) × H 1 (k, PGL 3 )
H 2
fppf (k, μ 3 ) × H 2
fppf (k, μ 3 ).
Soit [z] ∈ H 1 (k, H 0 ). Le diagramme indique que δ([z]) provient de
H 1 (k, PGL 3 ) et est donc la classe d’une algèbre cyclique. Par suite, il existe
une extension cyclique L/k d’ordre 3 tuant ∂([z]). D’après le théorème 6.0.1,
on sait que le noyau de H 1 (L, H 0 ) → H 2
fppf (L, μ 3 ) est trivial, ainsi l’extension
L/k tue [z]. Le groupe semi-simple z H 0 est donc déployé par L/k et d’après
la Proposition 3.2.11, on sait qu’il admet un k-tore maximal T /k déployé par
L/k. Le théorème de Steinberg montre l’existence d’un plongement T T→ H 0
tel que [z] appartienne à l’image de de H 1 (k, T ) → H 1 (k, H 0 ). Comme T /k
est un k-tore maximal de G 0 /k, le Corollaire 5.5.3 conclut que l’application
H 1 (k, T ) → H 1 (k, G 0 ) est nulle et l’image de [z] dans H 1 (k, G 0 ) est donc
triviale.
Passons au cas p = 5. On considère le sous-groupe semi-simple H 0 associé
à la racine α 4 du diagramme de Dynkin de type E 8 ci-dessus. On sait que H 0 =
(SL 5 ×SL 5 )/μ où μ = Ker(μ 5
(×2,×3)
− − → μ 5 ×μ 5 ) ≈ μ 5 d’après le §1.7 de [177].
Le groupe de Weyl de H 0 est donc le produit semi-direct de S 5 × S 5 par Z/2 et
le §3.2.7 montre que l’application H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, G 0 ) est surjective. On
a le diagramme commutatif
1
μ 5
(×2,×3)
SL 5 × SL 5
H 0
1
1
μ 5 × μ 5
SL 5 × SL 5
PGL 5 × PGL 5
1.