138
8 Groupes exceptionnels
Démonstration On note σ un générateur de G al(L/k). Soit z ∈ Z 1 (k, G 0 ) an et
G = z G 0 le groupe tordu. Soit P L un L-parabolique de G L de type E 7 et
C =
P L ∩ σ (P L ) ∩ σ
2 (P L )
⊂ G L .
Le groupe C L est défini sur k et suivant [149, lemme 6.32], on sait que dim k (C) ≥
77. Nous allons montrer que C L est un sous-groupe de Levi d’un L-sous-groupe
parabolique de G inclus dans P L . En effet, soit Q L un L-sous-groupe parabolique
de G contenant C L et contenu dans P L que l’on suppose minimal pour cette
propriété. Alors C =
Q L ∩ σ (Q L ) ∩ σ 2 (Q L )
. Par minimalité de Q L , on a
Q L = R u (Q L ).(Q L ∩ σ (Q L )), donc Q L et σ (Q L ) son opposés [22, prop. 4.10]; le
groupe M L := Q L ∩ σ (Q L ) est donc un sous-groupe de Levi de Q L contenant C L .
De plus, C L = M L ∩ σ 2 (Q L ) est un L-parabolique de M L . Si C L = M L , alors le
radical unipotent R u (C) L est un groupe déployé non trivial, donc R u (C) est aussi
déployé, ce qui contredit l’anisotropie de G. Il résulte que C L est un sous-groupe de
Levi de Q L . Le groupe C est donc réductif, et son diagramme de Dynkin absolu est
un sous-diagramme de E 7 . Un examen facile des cas possibles sous les hypothèses
H 1 (k, Z/2Z) = 0 et dim k (C) ≥ 77 entraîne alors que C est de type E 6 . Le groupe
H := C G (C).C est semi-simple de type E 6 × A 2 . Soit T /k un k-tore maximal
de H . Alors le système de racines Φ(G k s , T k s ) de type E 8 admet le sous-système
Φ(H k s , T k s ) de type E 6 × A 2 . Comme tous les sous-systèmes E 6 × A 2 du système
de racines E 8 sont conjugués par le groupe de Weyl, il résulte que le groupe H k s est
conjugué (par un élement de G(k s )) au sous-groupe standard H 0,k s de type E 6 ×A 2 .
D’après le lemme 1 de [159, §III.2], ceci entraîne
[z] ∈ Im
H
1 (k, N G 0 (H 0 )) → H
1 (k, G 0 )
.
On a une injection N G 0 (H 0 )/H 0 → Aut(H 0 )/H 0 = Z/2Z × Z/2Z, donc le
groupe N G 0 (H 0 )/H 0 est 2-primaire et l’hypothèse H 1 (k, Z/2Z) = 0 entraîne que
H 1 (k, N G 0 (H 0 )/H 0 ) = 1. Il résulte que [z] ∈ Im
H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, G 0 )
.
Nous procédons maintenant à la démonstration du Théorème 8.4.1.
Démonstration Commençons par une remarque générale, à savoir que H 1 (k, G 0 ) an
∪ {1} = H 1 (k, G 0 ). En effet, on se donne [z] ∈ H 1 (k, G 0 ) tel que G = z G 0
est isotrope. Alors le Lemme 2.2.2 montre alors que [z] appartient à l’image de
H 1 (k, DM 0 ) → H 1 (k, G 0 ) où DM 0 est un k-groupe semi-simple simplement
connexe déployé dont le type est un sous-diagramme strict de E 8 . Le Théorème 6.0.1 montre alors que H 1 (k, DM) = 1, d’où [z] = 1.
(1) Si p ∈ S(E 8 ), le Théorème 2 5.2.5 montre que H 1 (k, G) = 1. Si p = 2, il suffit
alors de montrer que H 1 (L/k, G 0 ) pour toute extension quadratique séparable
L/k, ce qui résulte du Corollaire 5.5.3. Supposons maintenant p = 3. Par
passage à la limite, le cas précédent permet de supposer que H 1 (k, Z/2Z) = 0.
8 Groupes exceptionnels
Démonstration On note σ un générateur de G al(L/k). Soit z ∈ Z 1 (k, G 0 ) an et
G = z G 0 le groupe tordu. Soit P L un L-parabolique de G L de type E 7 et
C =
P L ∩ σ (P L ) ∩ σ
2 (P L )
⊂ G L .
Le groupe C L est défini sur k et suivant [149, lemme 6.32], on sait que dim k (C) ≥
77. Nous allons montrer que C L est un sous-groupe de Levi d’un L-sous-groupe
parabolique de G inclus dans P L . En effet, soit Q L un L-sous-groupe parabolique
de G contenant C L et contenu dans P L que l’on suppose minimal pour cette
propriété. Alors C =
Q L ∩ σ (Q L ) ∩ σ 2 (Q L )
. Par minimalité de Q L , on a
Q L = R u (Q L ).(Q L ∩ σ (Q L )), donc Q L et σ (Q L ) son opposés [22, prop. 4.10]; le
groupe M L := Q L ∩ σ (Q L ) est donc un sous-groupe de Levi de Q L contenant C L .
De plus, C L = M L ∩ σ 2 (Q L ) est un L-parabolique de M L . Si C L = M L , alors le
radical unipotent R u (C) L est un groupe déployé non trivial, donc R u (C) est aussi
déployé, ce qui contredit l’anisotropie de G. Il résulte que C L est un sous-groupe de
Levi de Q L . Le groupe C est donc réductif, et son diagramme de Dynkin absolu est
un sous-diagramme de E 7 . Un examen facile des cas possibles sous les hypothèses
H 1 (k, Z/2Z) = 0 et dim k (C) ≥ 77 entraîne alors que C est de type E 6 . Le groupe
H := C G (C).C est semi-simple de type E 6 × A 2 . Soit T /k un k-tore maximal
de H . Alors le système de racines Φ(G k s , T k s ) de type E 8 admet le sous-système
Φ(H k s , T k s ) de type E 6 × A 2 . Comme tous les sous-systèmes E 6 × A 2 du système
de racines E 8 sont conjugués par le groupe de Weyl, il résulte que le groupe H k s est
conjugué (par un élement de G(k s )) au sous-groupe standard H 0,k s de type E 6 ×A 2 .
D’après le lemme 1 de [159, §III.2], ceci entraîne
[z] ∈ Im
H
1 (k, N G 0 (H 0 )) → H
1 (k, G 0 )
.
On a une injection N G 0 (H 0 )/H 0 → Aut(H 0 )/H 0 = Z/2Z × Z/2Z, donc le
groupe N G 0 (H 0 )/H 0 est 2-primaire et l’hypothèse H 1 (k, Z/2Z) = 0 entraîne que
H 1 (k, N G 0 (H 0 )/H 0 ) = 1. Il résulte que [z] ∈ Im
H 1 (k, H 0 ) → H 1 (k, G 0 )
.
Nous procédons maintenant à la démonstration du Théorème 8.4.1.
Démonstration Commençons par une remarque générale, à savoir que H 1 (k, G 0 ) an
∪ {1} = H 1 (k, G 0 ). En effet, on se donne [z] ∈ H 1 (k, G 0 ) tel que G = z G 0
est isotrope. Alors le Lemme 2.2.2 montre alors que [z] appartient à l’image de
H 1 (k, DM 0 ) → H 1 (k, G 0 ) où DM 0 est un k-groupe semi-simple simplement
connexe déployé dont le type est un sous-diagramme strict de E 8 . Le Théorème 6.0.1 montre alors que H 1 (k, DM) = 1, d’où [z] = 1.
(1) Si p ∈ S(E 8 ), le Théorème 2 5.2.5 montre que H 1 (k, G) = 1. Si p = 2, il suffit
alors de montrer que H 1 (L/k, G 0 ) pour toute extension quadratique séparable
L/k, ce qui résulte du Corollaire 5.5.3. Supposons maintenant p = 3. Par
passage à la limite, le cas précédent permet de supposer que H 1 (k, Z/2Z) = 0.