8.4 Type E 8
137
existe une paire hermitienne (h 2 , f 2 ) (resp. (h
2 , f
2 )) sur D 2 (resp. sur D 2 ) de
discriminant trivial et d’invariant de Clifford représenté par [Q 1 ] + [Q 2 ] (resp.
[Q
1 ] + [Q 2 ]). Par ailleurs, on note (h ⊗ , f ⊗ ) la paire hermitienne sur D définie
au §7.4.4, elle est de discriminant trivial et d’invariant e 2 représenté par [Q 2 ]. La
somme orthogonale
(h 2 , f 2 ) ⊥ (h ⊗ , f ⊗ )
est de discriminant trivial et d’invariant e 2 [Q
1 ] + [Q 2 ] + [Q 2 ] = [Q
1 ] donc est
isométrique à (h, f ) en vertu du Corollaire 7.4.12. Par suite, DM = SU(h, f )
admet le k-sous-groupe SU(h ⊗ , f ⊗ ) ∼ = SL 1 (Q 2 ) × SL 1 (Q 3 ) et SL(Q 2 ) est
géométriquement un sous-groupe de coracine de DM. De façon analogue, DM =
SU(h, f ) admet le k-sous groupe SL 1 (Q 2 ) × SL 1 (Q
3 ). En somme, G et G
admettent le k-sous groupe SL 1 (Q 2 ) et le Théorème 8.3.2.(4) permet de conclure
que [z] = 1 ∈ H 1 (k, G).
8.4 Type E 8
On rappelle la numérotation du diagramme de Dynkin étendu
. .
α 8 α 7 α 6 α 5 α 4 α 3 α 1
α 2
Théorème 8.4.1 Soit G 0 le k-groupe de Chevalley de type E 8 . On suppose que
scd l (k) ≤ 2 pour l = 2, 3, 5.
(1) Si k est un p-spécial pour un premier p, alors H 1 (k, G 0 ) = 1.
(2) On suppose k parfait. Soit L/k une extension galoisienne de degré 2 a 3 b 5 c .
Alors H 1 (L/k, G 0 ) = 1.
Il est intéressant d’isoler de la démonstration du théorème le fait suivant.
Lemme 8.4.2 On suppose k de caractéristique nulle. On note H 0 le sous-groupe
maximal déployé de G 0 de type E 6 × A 2 . Soit L/k une extension cyclique de degré
3. On suppose que H 1 (k, Z/2Z) = 0. Alors
H
1 (L/k, G 0 ) an ⊆ Im
H
1 (k, H 0 ) → H
1 (k, G 0 )
(H 1 (L/k, G 0 ) an désigne le sous-ensemble des classes de cohomologie anisotropes,
i.e. les classes [z] telles que le groupe tordu z G 0 soit anisotrope).
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existe une paire hermitienne (h 2 , f 2 ) (resp. (h
2 , f
2 )) sur D 2 (resp. sur D 2 ) de
discriminant trivial et d’invariant de Clifford représenté par [Q 1 ] + [Q 2 ] (resp.
[Q
1 ] + [Q 2 ]). Par ailleurs, on note (h ⊗ , f ⊗ ) la paire hermitienne sur D définie
au §7.4.4, elle est de discriminant trivial et d’invariant e 2 représenté par [Q 2 ]. La
somme orthogonale
(h 2 , f 2 ) ⊥ (h ⊗ , f ⊗ )
est de discriminant trivial et d’invariant e 2 [Q
1 ] + [Q 2 ] + [Q 2 ] = [Q
1 ] donc est
isométrique à (h, f ) en vertu du Corollaire 7.4.12. Par suite, DM = SU(h, f )
admet le k-sous-groupe SU(h ⊗ , f ⊗ ) ∼ = SL 1 (Q 2 ) × SL 1 (Q 3 ) et SL(Q 2 ) est
géométriquement un sous-groupe de coracine de DM. De façon analogue, DM =
SU(h, f ) admet le k-sous groupe SL 1 (Q 2 ) × SL 1 (Q
3 ). En somme, G et G
admettent le k-sous groupe SL 1 (Q 2 ) et le Théorème 8.3.2.(4) permet de conclure
que [z] = 1 ∈ H 1 (k, G).
8.4 Type E 8
On rappelle la numérotation du diagramme de Dynkin étendu
. .
α 8 α 7 α 6 α 5 α 4 α 3 α 1
α 2
Théorème 8.4.1 Soit G 0 le k-groupe de Chevalley de type E 8 . On suppose que
scd l (k) ≤ 2 pour l = 2, 3, 5.
(1) Si k est un p-spécial pour un premier p, alors H 1 (k, G 0 ) = 1.
(2) On suppose k parfait. Soit L/k une extension galoisienne de degré 2 a 3 b 5 c .
Alors H 1 (L/k, G 0 ) = 1.
Il est intéressant d’isoler de la démonstration du théorème le fait suivant.
Lemme 8.4.2 On suppose k de caractéristique nulle. On note H 0 le sous-groupe
maximal déployé de G 0 de type E 6 × A 2 . Soit L/k une extension cyclique de degré
3. On suppose que H 1 (k, Z/2Z) = 0. Alors
H
1 (L/k, G 0 ) an ⊆ Im
H
1 (k, H 0 ) → H
1 (k, G 0 )
(H 1 (L/k, G 0 ) an désigne le sous-ensemble des classes de cohomologie anisotropes,
i.e. les classes [z] telles que le groupe tordu z G 0 soit anisotrope).