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8 Groupes exceptionnels
Remarques 8.3.5
(a) Noter que si une telle structure existe, elle est unique en vertu du Corollaire 7.4.12.
(b) Une variante consiste à demander que C + (A, σ ) ∼ Q 1 ⊗ k Q 2 et C − (A, σ ) ∼
Q 1 ⊗ k Q 3 .
(c) Dans le cas où Q 2 ⊗ k Q 3 est une k-algèbre à division D, la question posée
est l’existence d’une paire hermitienne (h, f ) sur M 2 (D) de discriminant
trivial et d’invariant de Clifford [Q 1 ] + [Q 2 ]. Ceci permet de reformuler la
question en terme d’isotropie de formes hermitiennes de la façon suivante. La
Proposition 7.4.16.(2) indique qu’il existe une unique paire hermitienne (h 1 , f 1 )
(resp. (h 2 , f 2 )) sur M 2 (D) de discriminant trivial et d’invariant de Clifford [Q 1 ]
(resp. [Q 2 ]). Alors la somme orthogonale (h 1 , f 1 ) ⊕ (h 2 , f 2 ) définit une paire
hermitienne (h 4 , f 4 ) sur M 4 (D) de discriminant trivial et d’invariant de Clifford
[Q 1 ] + [Q 2 ]. Le théorème de classification des formes hermitiennes 7.4.12
indique que la question 8.3.4 est équivalente à l’isotropie de la paire (h 4 , f 4 ).
Proposition 8.3.6 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2, scd 3 (k) ≤ 2 et que la question 8.3.4 admet une réponse positive pour le corps k. Alors la conjecture II vaut
pour les groupes de type E 7 .
Démonstration Il reste à traiter le cas d’un k-groupe G dont l’algèbre de Tits
A est d’indice 8. L’idée est de raffiner la preuve du Théorème 8.3.2.(4). Etant
donné une extension quadratique séparable L/k telle que A L est d’indice 4, on a
H 1 (L/k, G) = H 1 (k, G). En outre G admet un k-sous groupe réductif M tel que
M L est un sous-groupe de Levi d’un L-sous-groupe parabolique de type E 7 \ {1} tel
que l’application H 1 (L/k, M) → H 1 (L/k, G) est surjectif.
Le k-groupe DM est semi-simple simplement connexe et intérieur de type D 6 .
Ainsi DM = Spin(B, σ, f ) pour une k-algèbre simple centrale B de degré 12
munie d’une paire quadratique (σ, f ). En écrivant B = End D (V ), on a DM =
Spin(V , h, f ) pour une paire hermitienne (h, f ).
Vu que DM L est le noyau anisotrope de G L , B L est Brauer-équivalente à A L
et (h, f ) L est d’invariant de Clifford trivial. En particulier B L est d’indice 4,
donc ind k (B) est divisible par 4. Comme B est de degré 12, il suit que B est
d’indice 4 d’où l’on tire que D est une algèbre de biquaternions à division. Comme
ker
Br(k) → Br(L)
se surjecte sur ker
Br(k)/Z.[A] → Br(L)/Z.[A L ]
l’invariant
de Clifford de (h, f ) est représenté par une algèbre de quaternions Q 1 (déployée par
L/k).
Ceci étant, soit [z] ∈ H 1 (L/k, M) et posons G = z G, M = z M. De même, on
a DM = Spin(D , h , f ) où D est une k -algèbre de biquaternions à division et
(h , f ) une paire hermitienne sur V de dimension 3 sur D. De même (h , f ) est
de discriminant trivial et son invariant de Clifford est représenté par une algèbre de
quaternions Q
1 déployée par L/k.
Le point est que D et D deviennent isomorphes sur L. La Proposition 7.1.9.(2)
indique que D = Q 2 ⊗ Q 3 et D = Q 2 ⊗ Q
3 pour des algèbres de quaternions
Q 2 , Q 3 , Q
3 . On applique maintenant l’hypothèse relative à la question 8.3.4. Il
8 Groupes exceptionnels
Remarques 8.3.5
(a) Noter que si une telle structure existe, elle est unique en vertu du Corollaire 7.4.12.
(b) Une variante consiste à demander que C + (A, σ ) ∼ Q 1 ⊗ k Q 2 et C − (A, σ ) ∼
Q 1 ⊗ k Q 3 .
(c) Dans le cas où Q 2 ⊗ k Q 3 est une k-algèbre à division D, la question posée
est l’existence d’une paire hermitienne (h, f ) sur M 2 (D) de discriminant
trivial et d’invariant de Clifford [Q 1 ] + [Q 2 ]. Ceci permet de reformuler la
question en terme d’isotropie de formes hermitiennes de la façon suivante. La
Proposition 7.4.16.(2) indique qu’il existe une unique paire hermitienne (h 1 , f 1 )
(resp. (h 2 , f 2 )) sur M 2 (D) de discriminant trivial et d’invariant de Clifford [Q 1 ]
(resp. [Q 2 ]). Alors la somme orthogonale (h 1 , f 1 ) ⊕ (h 2 , f 2 ) définit une paire
hermitienne (h 4 , f 4 ) sur M 4 (D) de discriminant trivial et d’invariant de Clifford
[Q 1 ] + [Q 2 ]. Le théorème de classification des formes hermitiennes 7.4.12
indique que la question 8.3.4 est équivalente à l’isotropie de la paire (h 4 , f 4 ).
Proposition 8.3.6 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2, scd 3 (k) ≤ 2 et que la question 8.3.4 admet une réponse positive pour le corps k. Alors la conjecture II vaut
pour les groupes de type E 7 .
Démonstration Il reste à traiter le cas d’un k-groupe G dont l’algèbre de Tits
A est d’indice 8. L’idée est de raffiner la preuve du Théorème 8.3.2.(4). Etant
donné une extension quadratique séparable L/k telle que A L est d’indice 4, on a
H 1 (L/k, G) = H 1 (k, G). En outre G admet un k-sous groupe réductif M tel que
M L est un sous-groupe de Levi d’un L-sous-groupe parabolique de type E 7 \ {1} tel
que l’application H 1 (L/k, M) → H 1 (L/k, G) est surjectif.
Le k-groupe DM est semi-simple simplement connexe et intérieur de type D 6 .
Ainsi DM = Spin(B, σ, f ) pour une k-algèbre simple centrale B de degré 12
munie d’une paire quadratique (σ, f ). En écrivant B = End D (V ), on a DM =
Spin(V , h, f ) pour une paire hermitienne (h, f ).
Vu que DM L est le noyau anisotrope de G L , B L est Brauer-équivalente à A L
et (h, f ) L est d’invariant de Clifford trivial. En particulier B L est d’indice 4,
donc ind k (B) est divisible par 4. Comme B est de degré 12, il suit que B est
d’indice 4 d’où l’on tire que D est une algèbre de biquaternions à division. Comme
ker
Br(k) → Br(L)
se surjecte sur ker
Br(k)/Z.[A] → Br(L)/Z.[A L ]
l’invariant
de Clifford de (h, f ) est représenté par une algèbre de quaternions Q 1 (déployée par
L/k).
Ceci étant, soit [z] ∈ H 1 (L/k, M) et posons G = z G, M = z M. De même, on
a DM = Spin(D , h , f ) où D est une k -algèbre de biquaternions à division et
(h , f ) une paire hermitienne sur V de dimension 3 sur D. De même (h , f ) est
de discriminant trivial et son invariant de Clifford est représenté par une algèbre de
quaternions Q
1 déployée par L/k.
Le point est que D et D deviennent isomorphes sur L. La Proposition 7.1.9.(2)
indique que D = Q 2 ⊗ Q 3 et D = Q 2 ⊗ Q
3 pour des algèbres de quaternions
Q 2 , Q 3 , Q
3 . On applique maintenant l’hypothèse relative à la question 8.3.4. Il