8.3 Type E 7
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D 6 .A 1 . 2 Ainsi il existe un plongement SL 1 (Q) → G qui est géométriquement un
plongement de coracine.
Soit [z] ∈ H 1 (k, G). Si [z] = 1, il est évident que l’on dispose aussi d’un
plongement SL 1 (Q) → z G. Réciproquement, on suppose donné une k-algèbre
de quaternions Q et des plongements SL 1 (Q) → G et SL 1 (Q) → z G qui sont
géométriquement des coracines.
Suivant le lemme 1 de [159, III.2.2], on a donc
[z] ∈
H
1
k, N G (SL 1 (Q))
→ H
1
k, G
.
De plus il existe un antécédent [a] ∈ H 1
k, N G (SL 1 (Q))
de [z] tel que le ksous-groupe a C G (DM) de a G est isomorphe au k-groupe SL 1 (Q). On considère la
suite exacte 1 → C G (SL 1 (Q))) → N G (SL 1 (Q)) → Aut(SL 1 (Q)) = PGL 1 (Q).
Comme SL 1 (Q) ⊂ N G (SL 1 (Q)), on a une suite exacte 1 → C G (SL 1 (Q)) →
N G (SL 1 (Q)) → PGL 1 (Q) → 1. En prenant la cohomologie galoisienne, on obtient
une suite exacte d’ensembles pointés
H
1
k, C G (SL 1 (Q))
→ H
1
k, N G (SL 1 (Q))
→ H
1
k, PGL 1 (Q)
.
Or l’image de [a] dans H 1
k, PGL 1 (Q)
est la classe d’isomorphie de a SL 1 (Q),
elle est donc triviale. La suite exacte ci-dessous montre donc que [a] et partant [z]
proviennent de H 1
k, C G (SL 1 (Q))
. Or C G (SL 1 (Q)) est un k-groupe semi-simple
simplement connexe de type D 6 , donc on a H 1
k, C G (SL 1 (Q))
= 1. On conclut
que [z] = 1.
8.3.3 Une stratégie possible
Nous allons expliquer ici comment une réponse satisfaisante à une question sur les
groupes de type D 4 permettrait d’exploiter le Théorème 8.3.2.(4).
Question 8.3.4 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soient Q 1 , Q 2 , Q 3 des algèbres de
quaternions. Existe-t-il une k-algèbre simple centrale A de degré 8 munie d’une
paire quadratique (σ, f ) satisfaisant les conditions suivantes:
(i) [A] = [Q 2 ] + [Q 3 ];
(ii) (σ, f ) est de discriminant trivial et Cl(A, σ, f ) = [Q 1 ] + [Q 2 ] ∈ Br(k)/Z.[A].
2 On remarque aussi que ce k-groupe H est le centralisateur de son centre C(H ) = μ 2 . En
particulier, H (et DM) est une forme intérieure par application de la Proposition 3.1.15.