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8 Groupes exceptionnels
du §9.5.2 indiquent que G est de k-rang 4 et aussi que G admet un k-sous-groupe
parabolique de type {2, 5, 7}.
Indice 4. Suivant le théorème d’Albert [115, th. 16.1], A est Brauer-équivalente
à une algèbre de biquaternions (à division). Il existe donc une extension
quadratique séparable k /k telle que A k est d’indice 2. D’après le cas précédent,
G k admet un k-sous-groupe parabolique de type {1, 3, 4, 6}.
Commençons par l’étude de l’isotropie. Les tables montrent que si G est de krang ≤ 1, et que si G est de k-rang 1, alors G admet un k-parabolique de type
{2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ainsi il suffit de montrer que G est isotrope.
La construction du Lemme 3.2.8 donne lieu à un k-groupe M = C G (S) de type
semi-simple A 3
1 où S est un k-tore de rang 4 déployé par k /k.
Comme M k est un sous-groupe de Levi de P , l’action ∗ associée à DM k est
triviale. En d’autres mots, DM k est une forme intérieure et il suit que DM contient
un facteur H 1 de type A 1 . On écrit H = H 1 × H 2 où H 2 est de type A 2
1 . Soit
S 1 un k-tore maximal de H 1 et choisissons un k-tore maximal T de G contenant
S.S 1 . Alors H 2 = DC G (S.S 1 ). On considère le k-sous-groupe réductif G S.S 1 ,T
de G contenant T construit au §2.3.2. Ce groupe commute à H 2 (Lemme 2.3.3)
et son type est donné par le sous-système de racines de Φ(G k s , T k s ) orthogonal à
Φ
(H 2 .T ) k s , T k s
. D’après [50, lemma 4.13], DG S.S 1 ,T est donc de type A 1 ×D 4 ; et
H 2 .DG S.S 1 ,T est donc un k-groupe semi-simple de rang maximal de G. Le point est
que S ∩ DG S.S 1 ,T est un tore maximal de DG S.S 1 ,T , donc DG S.S 1 ,T est de k -rang
≥ 4.
On écrit DG S.S 1 ,T = I × J où J est de type D 4 . Il suit que le k -rang de J est
≥ 3. Selon les tables d’indices, J k est quasi-déployé ou est une forme intérieure
admettant un k -groupe parabolique de type {4}. Dans les deux cas, J k admet un k -
groupe parabolique de type {3, 4}. D’après le Lemme 3.2.8, G admet un sous-groupe
réductif V tel que V k = Q ∩ σ Q où Q est un k -parabolique de type {3, 4}. Alors
DV est un groupe semi-simple simplement connexe de type A 2 et DV k est déployé.
Par restriction/corestriction, la classe de Tits de DV est triviale, donc DV est une
forme fortement intérieure de sa forme quasi-déployée. Le Corollaire 6.0.2 montre
que DV est quasi-déployé, donc a fortiori isotrope. On conclut que G est isotrope.
Ainsi G admet un k-sous-groupe parabolique P de type {2, 3, 4, 5, 6, 7}. On note
M un sous-groupe de Levi de P et on sait que DM est semi-simple connexe de
type D 6 . Soit [z] ∈ H 1 (k /k, G) = H 1 (k, G). Alors z G est aussi isotrope de type
{2, 3, 4, 5, 6, 7} et le Lemme 2.2.2 montre que [z] ∈ Im
H 1 (k, DM) → H 1 (k, G)
.
Or H 1 (k, DM) = 1 donc [z] = 1.
(3) et (4) Indice 8. Les tables montrent que G est anisotrope. D’après le théorème
de Sivatski 7.1.5, on sait que A est un produit tensoriel de trois algèbres de
quaternions. Ainsi il existe une extension quadratique séparable k /k telle que A k
est d’indice 4. D’après le cas précédent, on sait que H 1 (k , G) = 1 et G k admet
un k-sous-groupe parabolique de type {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Le Lemme 3.2.8 montre
que G admet un k-sous-groupe réductif M de type D 6 × T 1 . Le point est que
C G (DM) 0 est un k-groupe de type A 1 et associé géométriquement à une coracine
parce que H = DM.C G (DM) 0 est un sous-groupe semi-simple maximal de type
8 Groupes exceptionnels
du §9.5.2 indiquent que G est de k-rang 4 et aussi que G admet un k-sous-groupe
parabolique de type {2, 5, 7}.
Indice 4. Suivant le théorème d’Albert [115, th. 16.1], A est Brauer-équivalente
à une algèbre de biquaternions (à division). Il existe donc une extension
quadratique séparable k /k telle que A k est d’indice 2. D’après le cas précédent,
G k admet un k-sous-groupe parabolique de type {1, 3, 4, 6}.
Commençons par l’étude de l’isotropie. Les tables montrent que si G est de krang ≤ 1, et que si G est de k-rang 1, alors G admet un k-parabolique de type
{2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ainsi il suffit de montrer que G est isotrope.
La construction du Lemme 3.2.8 donne lieu à un k-groupe M = C G (S) de type
semi-simple A 3
1 où S est un k-tore de rang 4 déployé par k /k.
Comme M k est un sous-groupe de Levi de P , l’action ∗ associée à DM k est
triviale. En d’autres mots, DM k est une forme intérieure et il suit que DM contient
un facteur H 1 de type A 1 . On écrit H = H 1 × H 2 où H 2 est de type A 2
1 . Soit
S 1 un k-tore maximal de H 1 et choisissons un k-tore maximal T de G contenant
S.S 1 . Alors H 2 = DC G (S.S 1 ). On considère le k-sous-groupe réductif G S.S 1 ,T
de G contenant T construit au §2.3.2. Ce groupe commute à H 2 (Lemme 2.3.3)
et son type est donné par le sous-système de racines de Φ(G k s , T k s ) orthogonal à
Φ
(H 2 .T ) k s , T k s
. D’après [50, lemma 4.13], DG S.S 1 ,T est donc de type A 1 ×D 4 ; et
H 2 .DG S.S 1 ,T est donc un k-groupe semi-simple de rang maximal de G. Le point est
que S ∩ DG S.S 1 ,T est un tore maximal de DG S.S 1 ,T , donc DG S.S 1 ,T est de k -rang
≥ 4.
On écrit DG S.S 1 ,T = I × J où J est de type D 4 . Il suit que le k -rang de J est
≥ 3. Selon les tables d’indices, J k est quasi-déployé ou est une forme intérieure
admettant un k -groupe parabolique de type {4}. Dans les deux cas, J k admet un k -
groupe parabolique de type {3, 4}. D’après le Lemme 3.2.8, G admet un sous-groupe
réductif V tel que V k = Q ∩ σ Q où Q est un k -parabolique de type {3, 4}. Alors
DV est un groupe semi-simple simplement connexe de type A 2 et DV k est déployé.
Par restriction/corestriction, la classe de Tits de DV est triviale, donc DV est une
forme fortement intérieure de sa forme quasi-déployée. Le Corollaire 6.0.2 montre
que DV est quasi-déployé, donc a fortiori isotrope. On conclut que G est isotrope.
Ainsi G admet un k-sous-groupe parabolique P de type {2, 3, 4, 5, 6, 7}. On note
M un sous-groupe de Levi de P et on sait que DM est semi-simple connexe de
type D 6 . Soit [z] ∈ H 1 (k /k, G) = H 1 (k, G). Alors z G est aussi isotrope de type
{2, 3, 4, 5, 6, 7} et le Lemme 2.2.2 montre que [z] ∈ Im
H 1 (k, DM) → H 1 (k, G)
.
Or H 1 (k, DM) = 1 donc [z] = 1.
(3) et (4) Indice 8. Les tables montrent que G est anisotrope. D’après le théorème
de Sivatski 7.1.5, on sait que A est un produit tensoriel de trois algèbres de
quaternions. Ainsi il existe une extension quadratique séparable k /k telle que A k
est d’indice 4. D’après le cas précédent, on sait que H 1 (k , G) = 1 et G k admet
un k-sous-groupe parabolique de type {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Le Lemme 3.2.8 montre
que G admet un k-sous-groupe réductif M de type D 6 × T 1 . Le point est que
C G (DM) 0 est un k-groupe de type A 1 et associé géométriquement à une coracine
parce que H = DM.C G (DM) 0 est un sous-groupe semi-simple maximal de type