8.3 Type E 7
133
surjectivité de H 1 (k, PGL 2 ) → H 1 (k, M 0 /μ 2 ). Suivant [60, XII.4.1.6], le centre
de M 0 /μ 2 est un tore, on a donc une suite exacte 1 → G 4
m → M 0 /μ 2 →
(PGL 2 ) 3 → 1, d’où une injection H 1 (k, M 0 /μ 2 ) )→ H 1 (k, PGL 2 ) 3 . D’autre
part, on a une suite exacte 1 → (SL 2 ) 3 /μ 2 → M 0 /μ 2 → G 4
m → 1, d’où
une surjection H 1 (k, (SL 2 ) 3 /μ 2 ) → H 1 (k, M 0 /μ 2 ). Comme l’image du composé H 1 (k, (SL 2 ) 3 /μ 2 ) →
−→ H 1 (k, M 0 /μ 2 ) )→ H 1 (k, PGL 2 ) 3 est la diagonale
H 1 (k, PGL 2 ) on conclut que H 1 (k, PGL 2 )
∼
−→ H 1 (k, M 0 /μ 2 ).
8.3.2 Le résultat principal
Théorème 8.3.2 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2 et que scd 3 (k) ≤ 2. Soit G un kgroupe semi-simple simplement connexe de type E 7 et on note A son algèbre de
Tits.
(1) On a H 1 (k, G) = 1 si A est d’indice 1, 2 ou 4.
(2) Si A est d’indice 2 (resp. 4) alors G a k-rang 4 (resp. 1) et admet un k-sousgroupe parabolique de type {2, 5, 7} (resp. {2, 3, 4, 5, 6, 7}).
(3) Si A est d’indice 8, alors G est anisotrope et possède un k-sous-groupe
SL 1 (Q) (Q algèbre de quaternions) qui est géométriquement un sous-groupe
de « coracine ».
(4) Soit [z] ∈ H 1 (k, G) = 1. Alors [z] = 1 si et seulement si il existe une k-algèbre
de quaternions Q et des plongements SL 1 (Q) → G et SL 1 (Q) → z G qui sont
géométriquement des coracines.
Remarque 8.3.3 Dans (3), le centralisateur de SL 1 (Q) dans G est un sous-groupe
de type D 6 (intérieur), de sorte que G possède un k-sous-groupe semi-simple de
type A 1 × D 6 . Ces groupes ont été étudiés par Petrov [147, §3].
Démonstration (1) et (2). Il est loisible de supposer que k est infini. L’algèbre
de Tits A de G est de degré 8 et sa classe [A] dans Br(k) est l’image de
t G ∈ H 2
fppf (k, μ 2 ). Si t G = 1, alors G est une forme fortement intérieure et le
Corollaire 6.0.2 indique que G est quasi-déployé et que H 1 (k, G) = 1.
Cas d’indice 2. Alors A est Brauer-équivalente à une algèbre de quaternions (à
division), elle est donc déployée par une extension quadratique séparable k /k.
La classe de Tits de G k est nulle; G k est déployé et H 1 (k , G) = 1. Le
Corollaire 5.5.3 montre que H 1 (k /k, G) = 1, d’où H 1 (k, G) = 1.
Passons à l’étude de l’isotropie. Le groupe G k est déployé, il admet donc en
particulier un sous-groupe parabolique de type {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Le Lemme 3.2.8
montre que G admet un k-sous-groupe semi-simple simplement connexe H de
type E 6 qui est déployé par k /k. Par restriction/corestriction, la classe de Tits
de H est triviale. Le Corollaire 6.0.2 montre que H est quasi-déployé, donc de
k-rang ≥ 4. Ainsi G est de k-rang ≥ 4 et de classe de Tits non triviale. Les tables
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surjectivité de H 1 (k, PGL 2 ) → H 1 (k, M 0 /μ 2 ). Suivant [60, XII.4.1.6], le centre
de M 0 /μ 2 est un tore, on a donc une suite exacte 1 → G 4
m → M 0 /μ 2 →
(PGL 2 ) 3 → 1, d’où une injection H 1 (k, M 0 /μ 2 ) )→ H 1 (k, PGL 2 ) 3 . D’autre
part, on a une suite exacte 1 → (SL 2 ) 3 /μ 2 → M 0 /μ 2 → G 4
m → 1, d’où
une surjection H 1 (k, (SL 2 ) 3 /μ 2 ) → H 1 (k, M 0 /μ 2 ). Comme l’image du composé H 1 (k, (SL 2 ) 3 /μ 2 ) →
−→ H 1 (k, M 0 /μ 2 ) )→ H 1 (k, PGL 2 ) 3 est la diagonale
H 1 (k, PGL 2 ) on conclut que H 1 (k, PGL 2 )
∼
−→ H 1 (k, M 0 /μ 2 ).
8.3.2 Le résultat principal
Théorème 8.3.2 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2 et que scd 3 (k) ≤ 2. Soit G un kgroupe semi-simple simplement connexe de type E 7 et on note A son algèbre de
Tits.
(1) On a H 1 (k, G) = 1 si A est d’indice 1, 2 ou 4.
(2) Si A est d’indice 2 (resp. 4) alors G a k-rang 4 (resp. 1) et admet un k-sousgroupe parabolique de type {2, 5, 7} (resp. {2, 3, 4, 5, 6, 7}).
(3) Si A est d’indice 8, alors G est anisotrope et possède un k-sous-groupe
SL 1 (Q) (Q algèbre de quaternions) qui est géométriquement un sous-groupe
de « coracine ».
(4) Soit [z] ∈ H 1 (k, G) = 1. Alors [z] = 1 si et seulement si il existe une k-algèbre
de quaternions Q et des plongements SL 1 (Q) → G et SL 1 (Q) → z G qui sont
géométriquement des coracines.
Remarque 8.3.3 Dans (3), le centralisateur de SL 1 (Q) dans G est un sous-groupe
de type D 6 (intérieur), de sorte que G possède un k-sous-groupe semi-simple de
type A 1 × D 6 . Ces groupes ont été étudiés par Petrov [147, §3].
Démonstration (1) et (2). Il est loisible de supposer que k est infini. L’algèbre
de Tits A de G est de degré 8 et sa classe [A] dans Br(k) est l’image de
t G ∈ H 2
fppf (k, μ 2 ). Si t G = 1, alors G est une forme fortement intérieure et le
Corollaire 6.0.2 indique que G est quasi-déployé et que H 1 (k, G) = 1.
Cas d’indice 2. Alors A est Brauer-équivalente à une algèbre de quaternions (à
division), elle est donc déployée par une extension quadratique séparable k /k.
La classe de Tits de G k est nulle; G k est déployé et H 1 (k , G) = 1. Le
Corollaire 5.5.3 montre que H 1 (k /k, G) = 1, d’où H 1 (k, G) = 1.
Passons à l’étude de l’isotropie. Le groupe G k est déployé, il admet donc en
particulier un sous-groupe parabolique de type {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Le Lemme 3.2.8
montre que G admet un k-sous-groupe semi-simple simplement connexe H de
type E 6 qui est déployé par k /k. Par restriction/corestriction, la classe de Tits
de H est triviale. Le Corollaire 6.0.2 montre que H est quasi-déployé, donc de
k-rang ≥ 4. Ainsi G est de k-rang ≥ 4 et de classe de Tits non triviale. Les tables