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8 Groupes exceptionnels
8.3 Type E 7
On rappelle la numérotation de Bourkaki du diagramme de Dynkin
α 7 α 6 α 5 α 4 α 3 α 1
α 2
8.3.1 Groupes de type E 7 , quaternions
On note G 0 le k-groupe semi-simple simplement connexe de type E 7 et G 0,ad =
Aut(G 0 ) son groupe adjoint. On note (B 0 , T 0 ) un couple de Killing de G 0 , il définit
une base Δ du système de racines Φ(G 0 , T 0 ). Pour chaque racince α, on note
α ∨ : G m → G 0 la coracine. On sait que le centre C 0 de G 0 est le sous-groupe μ 2
de T 0 qui se plonge selon i(x) = α ∨
2 (x)α ∨
5 (x)α ∨
5 (x) [73, §9]. En d’autres mots, le
centre μ 2 est le sous-groupe diagonal du centre du sous-groupe SL 2 ×SL 2 ×SL 2 →
G 0 défini par α ∨
2 , α ∨
5 et α ∨
5 . Ce k-groupe (SL 2 ) 3 est le groupe dérivé du k-sousgroupe de Levi M 0 contenant T 0 du k-sous-groupe parabolique standard P 0 de G 0
de type {2, 5, 7}.
On a donc un plongement (SL 2 ) 3 /μ 2 → M 0 /μ 2 → G 0,ad et partant un
plongement diagonal PGL 2 = SL 2 /μ 2 → (SL 2 ) 3 /μ 2 → M 0 /μ 2 → G 0,ad . Par
construction, on a le diagramme commutatif de bords
H 1 (k, PGL 2 )
δ
H 1 (k, G 0 )
δ
H 2
fppf (k, μ 2 )
id
∼
H 2
fppf (k, μ 2 ).
Ceci permet donc de construire des k-groupes de type E 7 dont la classe de Tits est
une algèbre de quaternions.
Lemme 8.3.1 L’application H 1 (k, PGL 2 ) → H 1 (k, G 0 ) est injective et induit une
bijection entre les classes de k-algèbres de quaternions et les classes d’isomorphie
de k-groupes semi-simples simplement connexe de type E 7 qui admettent un k-sousgroupe parabolique de type {2, 5, 7}.
Démonstration Comme PGL 2 ⊂ M 0 /μ 2 ⊂ P 0 /μ 2 , pour tout [z] ∈ H 1 (k, PGL 2 ),
il suit que le k-groupe tordu z G 0 admet le k-groupe parabolique z P 0 qui est de type
{2, 5, 7}.
On sait que le sous-ensemble H 1 (k, M 0 /μ 2 ) ∼ = H 1 (k, P 0 /μ 2 ) ⊆ H 1 (k, G 0,ad )
classifie les groupes semi-simples simplement connexe de type E 7 qui admettent
un k-sous-groupe parabolique de type {2, 5, 7}. Il suffit donc de montrer la
8 Groupes exceptionnels
8.3 Type E 7
On rappelle la numérotation de Bourkaki du diagramme de Dynkin
α 7 α 6 α 5 α 4 α 3 α 1
α 2
8.3.1 Groupes de type E 7 , quaternions
On note G 0 le k-groupe semi-simple simplement connexe de type E 7 et G 0,ad =
Aut(G 0 ) son groupe adjoint. On note (B 0 , T 0 ) un couple de Killing de G 0 , il définit
une base Δ du système de racines Φ(G 0 , T 0 ). Pour chaque racince α, on note
α ∨ : G m → G 0 la coracine. On sait que le centre C 0 de G 0 est le sous-groupe μ 2
de T 0 qui se plonge selon i(x) = α ∨
2 (x)α ∨
5 (x)α ∨
5 (x) [73, §9]. En d’autres mots, le
centre μ 2 est le sous-groupe diagonal du centre du sous-groupe SL 2 ×SL 2 ×SL 2 →
G 0 défini par α ∨
2 , α ∨
5 et α ∨
5 . Ce k-groupe (SL 2 ) 3 est le groupe dérivé du k-sousgroupe de Levi M 0 contenant T 0 du k-sous-groupe parabolique standard P 0 de G 0
de type {2, 5, 7}.
On a donc un plongement (SL 2 ) 3 /μ 2 → M 0 /μ 2 → G 0,ad et partant un
plongement diagonal PGL 2 = SL 2 /μ 2 → (SL 2 ) 3 /μ 2 → M 0 /μ 2 → G 0,ad . Par
construction, on a le diagramme commutatif de bords
H 1 (k, PGL 2 )
δ
H 1 (k, G 0 )
δ
H 2
fppf (k, μ 2 )
id
∼
H 2
fppf (k, μ 2 ).
Ceci permet donc de construire des k-groupes de type E 7 dont la classe de Tits est
une algèbre de quaternions.
Lemme 8.3.1 L’application H 1 (k, PGL 2 ) → H 1 (k, G 0 ) est injective et induit une
bijection entre les classes de k-algèbres de quaternions et les classes d’isomorphie
de k-groupes semi-simples simplement connexe de type E 7 qui admettent un k-sousgroupe parabolique de type {2, 5, 7}.
Démonstration Comme PGL 2 ⊂ M 0 /μ 2 ⊂ P 0 /μ 2 , pour tout [z] ∈ H 1 (k, PGL 2 ),
il suit que le k-groupe tordu z G 0 admet le k-groupe parabolique z P 0 qui est de type
{2, 5, 7}.
On sait que le sous-ensemble H 1 (k, M 0 /μ 2 ) ∼ = H 1 (k, P 0 /μ 2 ) ⊆ H 1 (k, G 0,ad )
classifie les groupes semi-simples simplement connexe de type E 7 qui admettent
un k-sous-groupe parabolique de type {2, 5, 7}. Il suffit donc de montrer la