8.2 Type E 6
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8.2.2 Application à la conjecture II
Théorème 8.2.4 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2 et que scd 3 (k) ≤ 2. Soit G un
k-groupe semi-simple simplement connexe de type E 6 . On note K/k l’algèbre
quadratique étale « discriminant » de G.
Si t = t G ∈ H 2
fppf (k, μ G ) consiste en des algèbres d’indice ≤ 3, alors G est
isomorphe à G t (défini dans la Proposition 8.2.2) et H 1 (k, G) = 1.
Démonstration On pose t = t G ∈ H 2 (k, μ G ). Comme G et G t ont même classe de
Tits, G est une forme fortement intérieure de G t . Pour montrer que G est isomorphe
à G t , la caractérisation de la proposition précédente montre qu’il suffit de montrer
que G t admet un k-sous-groupe parabolique de type {1, 3, 5, 6}. Si t = 0, alors G t
est quasi-déployé et le Corollaire 6.0.2 montre que G ∼ = G t et que H 1 (k, G) = 1.
Il est donc loisible de supposer que t = 0.
Cas intérieur. Alors t s’applique dans Br(k) ⊕ Br(k) sur un couple ([D], [D op ]) où
D est une k-algèbre simple centrale à division de degré 3. D’après un résultat de
Wedderburn [115, th. 19.2], D est cyclique, c’est-à-dire déployée par une extension cyclique L/k de degré 3. Alors G L est déployé et la Proposition 3.2.11.(3)
indique que G admet un sous-groupe semi-simple simplement connexe H de
type D 4 qui est déployé par L/k. Ainsi l’algèbre d’Allen de H est déployée,
donc DM est une forme fortement intérieure de sa forme quasi déployée. Le
Corollaire 6.0.2 montre que H est quasi-déployé, il est donc de k-rang ≥ 2.
Ainsi G est de k-rang ≥ 2. La lecture des tables des indices de Tits possibles
(Merkurjev-Panin-Wadsworth, voir les tables listés au §9.5.2) montre que G est
de k-rang 2 et qu’il admet un k-groupe parabolique P de type {1, 3, 5, 6}. Ceci
permet de conclure que G ∼ = G t .
Par suite l’application H 1 (k, P ) → H 1 (k, G) est surjective. On note M un ksous-groupe de Levi de P , alors DM est semi-simple simplement connexe de
type A 2 ×A 2 , qui est une forme intérieure. Comme H 1 (k, DM) → H 1 (k, P ) est
surjectif (§2.2.3), il suit que H 1 (k, DM) → H 1 (k, G) est surjectif. Or DM est
un k-groupe semi-simple simplement connexe classique donc H 1 (k, DM) = 1,
d’où l’on conclut que H 1 (k, G) = 1.
Cas extérieur. D’après le cas intérieur, G K admet un K-sous-groupe parabolique
(minimal) P de type {1, 3, 5, 6}. Le Lemme 3.2.8 montre qu’il existe un k-sousgroupe réductif M de G tel que M K est un k-groupe de Levi de P . Alors DM
est semi-simple simplement connexe de type A 2 × A 2 . Le k-sous-groupe H =
M.C G (DM) de G est semi-simple de type (A 2 ) 3 . On a H = DM.H 2 où H 2
est un k-sous-groupe de type A 2 . Comme DM K est anisotrope et que H K est
de K-rang 2, il suit que H 2,K est déployé. En particulier, la classe de Tits de
H 2 est triviale et le k-groupe classique H 2 est donc quasi-déployé. Ainsi G est
isotrope et les tables indiquent que G K admet un k-sous-groupe parabolique de
type {1, 3, 5, 6}. La preuve de H 1 (k, G) = 1 est verbatim celle du cas intérieur.
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8.2.2 Application à la conjecture II
Théorème 8.2.4 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2 et que scd 3 (k) ≤ 2. Soit G un
k-groupe semi-simple simplement connexe de type E 6 . On note K/k l’algèbre
quadratique étale « discriminant » de G.
Si t = t G ∈ H 2
fppf (k, μ G ) consiste en des algèbres d’indice ≤ 3, alors G est
isomorphe à G t (défini dans la Proposition 8.2.2) et H 1 (k, G) = 1.
Démonstration On pose t = t G ∈ H 2 (k, μ G ). Comme G et G t ont même classe de
Tits, G est une forme fortement intérieure de G t . Pour montrer que G est isomorphe
à G t , la caractérisation de la proposition précédente montre qu’il suffit de montrer
que G t admet un k-sous-groupe parabolique de type {1, 3, 5, 6}. Si t = 0, alors G t
est quasi-déployé et le Corollaire 6.0.2 montre que G ∼ = G t et que H 1 (k, G) = 1.
Il est donc loisible de supposer que t = 0.
Cas intérieur. Alors t s’applique dans Br(k) ⊕ Br(k) sur un couple ([D], [D op ]) où
D est une k-algèbre simple centrale à division de degré 3. D’après un résultat de
Wedderburn [115, th. 19.2], D est cyclique, c’est-à-dire déployée par une extension cyclique L/k de degré 3. Alors G L est déployé et la Proposition 3.2.11.(3)
indique que G admet un sous-groupe semi-simple simplement connexe H de
type D 4 qui est déployé par L/k. Ainsi l’algèbre d’Allen de H est déployée,
donc DM est une forme fortement intérieure de sa forme quasi déployée. Le
Corollaire 6.0.2 montre que H est quasi-déployé, il est donc de k-rang ≥ 2.
Ainsi G est de k-rang ≥ 2. La lecture des tables des indices de Tits possibles
(Merkurjev-Panin-Wadsworth, voir les tables listés au §9.5.2) montre que G est
de k-rang 2 et qu’il admet un k-groupe parabolique P de type {1, 3, 5, 6}. Ceci
permet de conclure que G ∼ = G t .
Par suite l’application H 1 (k, P ) → H 1 (k, G) est surjective. On note M un ksous-groupe de Levi de P , alors DM est semi-simple simplement connexe de
type A 2 ×A 2 , qui est une forme intérieure. Comme H 1 (k, DM) → H 1 (k, P ) est
surjectif (§2.2.3), il suit que H 1 (k, DM) → H 1 (k, G) est surjectif. Or DM est
un k-groupe semi-simple simplement connexe classique donc H 1 (k, DM) = 1,
d’où l’on conclut que H 1 (k, G) = 1.
Cas extérieur. D’après le cas intérieur, G K admet un K-sous-groupe parabolique
(minimal) P de type {1, 3, 5, 6}. Le Lemme 3.2.8 montre qu’il existe un k-sousgroupe réductif M de G tel que M K est un k-groupe de Levi de P . Alors DM
est semi-simple simplement connexe de type A 2 × A 2 . Le k-sous-groupe H =
M.C G (DM) de G est semi-simple de type (A 2 ) 3 . On a H = DM.H 2 où H 2
est un k-sous-groupe de type A 2 . Comme DM K est anisotrope et que H K est
de K-rang 2, il suit que H 2,K est déployé. En particulier, la classe de Tits de
H 2 est triviale et le k-groupe classique H 2 est donc quasi-déployé. Ainsi G est
isotrope et les tables indiquent que G K admet un k-sous-groupe parabolique de
type {1, 3, 5, 6}. La preuve de H 1 (k, G) = 1 est verbatim celle du cas intérieur.