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8 Groupes exceptionnels
Lemme 8.2.3 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe. On note K/k
son extension quadratique « discriminant » (correspondant à l’invariant ∗).
(1) Soient H 1 , H 2 des k-sous-groupes semi-simples de G de type A 2 × A 2 × A 2 .
Si H 1 et H 2 sont déployés, alors H 1 et H 2 sont G(k)-conjugués. En outre on a
des suites exactes 1 → H 1 → N G (H 1 ) → S 3 → 1 et 1 → H 1 /C(G) →
Aut(G, H 1 ) → S 3 × Z/2Z → 1 où S 3 (resp. Z/2Z) agit sur (A 2 ) 3 par
permutation (resp. par automorphisme de diagramme sur chaque facteur A 2 ).
(2) Soit H un k-sous-groupe de type A 2 × A 2 × A 2 de G. Alors il existe une
unique extension cubique étale L/k telle que H q = R L/k
K
SL 3 × k L
/μ
où K SL 3 désigne la k-forme quasi-déployée de SL 3 associée à K où
μ = R 1
K/k (μ 3 ) est plongé diagonalement dans le centre R L/k
R 1
K⊗ k L/K (μ 3 )
de R L/k
K
SL 3 × k L
.
(3) Si G est une forme intérieure, alors il existe une L-algèbre simple centrale A
de degré 3 telle que H
∼
−→ R L/k
SL 1 (A)
/μ.
Démonstration
(1) Sans perte de généralité, on peut supposer que H 1 , H 2 contiennent un k-tore
maximal déployé commmun T . On pose W = N G (T )/T . Comme le système
E 6 admet une unique classe de W -conjugaison de sous-système de type (A 2 ) 3 ,
il existe w ∈ W tel que w Φ(H 1 , T ) = Φ(H 2 , T ) dans Φ(G, T ). Soit n w ∈
N G (T )(k) un relevé de w. Alors Φ( n w H 1 , T ) = Φ(H 2 , T ) et n w H 1 = H 2 .
On note W 1 = N G 1 (T )/T ⊂ W ; on sait que N W (W 1 ) = W 1 S 3 = (S 3 ) 3
S 3 [34, lemma 11]. Il suit que N G (H 1 , T )/T = (S 3 ) 3 S 3 . Or N G (H 1 )(k) est
engendré par H 1 (k), donc on a une suite exacte 1 → H 1 → N G (H 1 ) → S 3 →
1. La seconde suite exacte s’obtient de la même façon en tenant compte du fait
que Aut(E 6 ) = W (E 6 ) × {±1}.
(2). On discute de façon uniforme les deux cas dans un premier temps. On note
G 0 le k-groupe de Chevalley simplement connexe de type E 6 et H 0 un k-sousgroupe de type (A 2 ) 3 contenant un k-tore maximal déployé T 0 de G 0 . D’aprés
le (1), (G, H ) est une k-forme de (G 0 , H 0 ) et est donc k-isomorphe au tordu
( z G 0 , z H 0 ) par un 1-cocycle z à valeurs dans Aut(G 0 , H 0 ). On considère la
suite exacte 1 → H 0 /C(G 0 ) → Aut(G 0 , H 0 )
π
− → S 3 × Z/2Z → 1. Alors π ∗ z
définit un homomorphisme Γ k → S 3 ×Z/2Z, c’est-à-dire un couple (L, k 2 ) où
L (resp. k 2 ) désigne une extension cubique (resp. quadratique) étale de k. On
observe que le composé Aut(G 0 , H 0 ) → Aut(G 0 ) → Autext(G 0 ) = Z/2Z est
la projection de Aut(G 0 , H 0 ) sur Z/2Z, ce qui entraîne que [k 2 ] est l’invariant
∗ de G, d’où k 2 = K. On a donc H q = R L/k
K
SL 3 × k L
/μ où K SL 3 désigne
la k-forme quasi-déployée de SL 3 associée à K et μ = R 1
K/k (μ 3 ) est plongé
diagonalement.
(3). Si G est une forme intérieure, on a donc K = k × k. Ainsi H est une forme
intérieure de R L/k
SL 3 × k L
/μ. Par suite, il existe une L-algèbre simple
centrale A de degré 3 telle que H
∼
−→ R L/k
SL 1 (A)
/μ.
8 Groupes exceptionnels
Lemme 8.2.3 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe. On note K/k
son extension quadratique « discriminant » (correspondant à l’invariant ∗).
(1) Soient H 1 , H 2 des k-sous-groupes semi-simples de G de type A 2 × A 2 × A 2 .
Si H 1 et H 2 sont déployés, alors H 1 et H 2 sont G(k)-conjugués. En outre on a
des suites exactes 1 → H 1 → N G (H 1 ) → S 3 → 1 et 1 → H 1 /C(G) →
Aut(G, H 1 ) → S 3 × Z/2Z → 1 où S 3 (resp. Z/2Z) agit sur (A 2 ) 3 par
permutation (resp. par automorphisme de diagramme sur chaque facteur A 2 ).
(2) Soit H un k-sous-groupe de type A 2 × A 2 × A 2 de G. Alors il existe une
unique extension cubique étale L/k telle que H q = R L/k
K
SL 3 × k L
/μ
où K SL 3 désigne la k-forme quasi-déployée de SL 3 associée à K où
μ = R 1
K/k (μ 3 ) est plongé diagonalement dans le centre R L/k
R 1
K⊗ k L/K (μ 3 )
de R L/k
K
SL 3 × k L
.
(3) Si G est une forme intérieure, alors il existe une L-algèbre simple centrale A
de degré 3 telle que H
∼
−→ R L/k
SL 1 (A)
/μ.
Démonstration
(1) Sans perte de généralité, on peut supposer que H 1 , H 2 contiennent un k-tore
maximal déployé commmun T . On pose W = N G (T )/T . Comme le système
E 6 admet une unique classe de W -conjugaison de sous-système de type (A 2 ) 3 ,
il existe w ∈ W tel que w Φ(H 1 , T ) = Φ(H 2 , T ) dans Φ(G, T ). Soit n w ∈
N G (T )(k) un relevé de w. Alors Φ( n w H 1 , T ) = Φ(H 2 , T ) et n w H 1 = H 2 .
On note W 1 = N G 1 (T )/T ⊂ W ; on sait que N W (W 1 ) = W 1 S 3 = (S 3 ) 3
S 3 [34, lemma 11]. Il suit que N G (H 1 , T )/T = (S 3 ) 3 S 3 . Or N G (H 1 )(k) est
engendré par H 1 (k), donc on a une suite exacte 1 → H 1 → N G (H 1 ) → S 3 →
1. La seconde suite exacte s’obtient de la même façon en tenant compte du fait
que Aut(E 6 ) = W (E 6 ) × {±1}.
(2). On discute de façon uniforme les deux cas dans un premier temps. On note
G 0 le k-groupe de Chevalley simplement connexe de type E 6 et H 0 un k-sousgroupe de type (A 2 ) 3 contenant un k-tore maximal déployé T 0 de G 0 . D’aprés
le (1), (G, H ) est une k-forme de (G 0 , H 0 ) et est donc k-isomorphe au tordu
( z G 0 , z H 0 ) par un 1-cocycle z à valeurs dans Aut(G 0 , H 0 ). On considère la
suite exacte 1 → H 0 /C(G 0 ) → Aut(G 0 , H 0 )
π
− → S 3 × Z/2Z → 1. Alors π ∗ z
définit un homomorphisme Γ k → S 3 ×Z/2Z, c’est-à-dire un couple (L, k 2 ) où
L (resp. k 2 ) désigne une extension cubique (resp. quadratique) étale de k. On
observe que le composé Aut(G 0 , H 0 ) → Aut(G 0 ) → Autext(G 0 ) = Z/2Z est
la projection de Aut(G 0 , H 0 ) sur Z/2Z, ce qui entraîne que [k 2 ] est l’invariant
∗ de G, d’où k 2 = K. On a donc H q = R L/k
K
SL 3 × k L
/μ où K SL 3 désigne
la k-forme quasi-déployée de SL 3 associée à K et μ = R 1
K/k (μ 3 ) est plongé
diagonalement.
(3). Si G est une forme intérieure, on a donc K = k × k. Ainsi H est une forme
intérieure de R L/k
SL 3 × k L
/μ. Par suite, il existe une L-algèbre simple
centrale A de degré 3 telle que H
∼
−→ R L/k
SL 1 (A)
/μ.