8.2 Type E 6
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8.2.1 Algèbres de degré 3
Lemme 8.2.1 Soient k /k une extension quadratique étale et G un k-groupe quasidéployé semi-simple simplement connexe de discriminant [k ]. On note μ le centre
de G et on note M un k-sous-groupe de Levi d’un k-sous-groupe parabolique P de
G de type {1, 3, 5, 6}, i.e.
α 2
α 4 α 3 α 1
α 6
α 5
(1) On a une suite exacte 1 → G m → M/μ → R k /k (PGL 3 ) → 1. Elle s’insère
dans le diagramme commutatif à lignes exactes
1
R k /k (μ 2 )
N k /k
R k /k (SL 3 )
R k /k (PGL 3 )
1
1
μ 3
R L/k (SL 3 )/μ
R L/k (PGL 3 )
1
1
G m
M/μ
R L/k (PGL 3 )
1.
(2) L’application H 1 (k, M/μ) → H 1 (k, R k /k (PGL 3 )) ∼ = H 1 (k , PGL 3 ) est
injective et son image consiste en les classes de k -algèbres simples centrales A
de degré 3 satisfaisant Cores k
k ([A]) = 0 ∈ Br(k).
(3) L’application H 1 (k, M/μ) → H 2
fppf (k, μ)
∼
−→ Ker
3 Br(k ) → 3 Br(k)
est
injective et son image consiste en les classes de k -algèbres simples centrales A
de degré 3 satisfaisant Cores
k
k ([A]) = 0 ∈ Br(k).
Démonstration Elle est analogue à la démonstration du Lemme 8.1.1.
Proposition 8.2.2 Soit k /k une extension quadratique étale et soit t ∈ H 2 (k, μ)
où μ = R 1
k /k (μ 3 ). On suppose que t G s’applique par l’application (∗∗) sur des
algèbres d’indices ≤ 3. Alors il existe un unique k-groupe semi-simple simplement
connexe G t de type E 6 satisfaisant les conditions suivantes:
(i) G t est de discriminant [k ] et t G = t ∈ H 2
fppf (k, μ).
(ii) G t admet un k-sous-groupe parabolique de type {1, 3, 5, 6}.
En outre, si t G = 0, alors G est de k-rang 2.
Démonstration Elle est analogue à la démonstration de la Proposition 8.1.2.