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8 Groupes exceptionnels
On a Hom
R 1
E/k (G m ), R L/k (G m )
∼ = Hom
R 1
E.L/L (G m ), G m,L
= 0
et le lemme de Shapiro montre que Ext
1
R 1
E/k (G m ), R L.E/k (G m )
∼ =
Ext
1
G m,L.E , G m,L.E
= 0, d’où Ext
1
R 1
E/k (G m ), T 3
= 0. En particulier la
suite exacte 1 → T 3 → T → R 1
E/k (G m ) → 1 est scindée et il en est donc de même
du morphisme M → R 1
E/k (G m ). Ainsi la condition (a) de la Proposition 5.6.1.(1)
est satisfaite et il en est de même de la condition (b). La Proposition 5.6.1.(1) montre
que H 1 (E/k, G) = 1 et on conclut que H 1 (k, G) = 1.
On passe à l’isotropie. D’après la Proposition 8.1.2, G admet une forme
fortement intérieure G qui est isotrope de type {1, 3, 4}. Comme H 1 (k, G) = 1,
les k-groupes G, G sont isomorphes. On conclut que G est de k-rang 1 et admet un
k-sous-groupe parabolique de type {1, 3, 4}.
8.2 Type E 6
On rappelle la numérotation de Bourkaki du diagramme de Dynkin
α 1 α 3 α 4 α 5 α 6
α 2
Il y a de nombreuses analogies entre les groupes de type E 6 et les groupes
trialitaires où les premiers 2 et 3 « échangent » leurs rôles.
Si G désigne un k-groupe semi-simple simplement connexe de type E 6 , son
centre μ G est isomorphe à R 1
k /k (μ 3 ) où k /k désigne l’extension quadratique étale
« discriminant » de G. La suite exacte 1 → R 1
k /k (μ 3 ) → R k /k (μ 3 ) → μ 3 → 1
donne lieu à une suite exacte
H
2
fppf (k
, μ 3 )
Cores
− −− → H
1
fppf (k, μ 3 ) → H
2
fppf (k, μ G ) → H
2
fppf (k
, μ 3 )
Cores
− −− → H
2
fppf (k, μ 3 ).
Comme [k : k] = 2, il vient des isomorphismes
(∗∗)
H
2 (k, μ G )
∼
−→ ker
H
2
fppf (k
, μ 3 ) → H
2
fppf (k, μ 3 )
∼
−→ ker
3 Br(k
) → 3 Br(k)
.