8.1 Cas trialitaire
127
Remarque 8.1.4
(a) Dans le cas L = k 3 ou L = k × k, il s’agit d’un résultat d’Albert [115, Cor.
16.28, 16.29].
(b) Dans le cas quadratique, la démontration est une variante de celle de Tits [179].
Cette méthode a été développée par Krashen [117]. Il serait intéressant d’avoir
une démonstration du cas cubique en caractéristique libre, c’est-à-dire en évitant
le relèvement en caractéristique nulle.
(c) Ce résultat ne s’étend pas au cas d’un nombre premier impair. En effet,
pour chaque premier p impair, Jacob et Wadsworth ont contruit un corps F ,
des algèbres simples centrales A, B de degré p n’ayant aucun sous-corps
commutatif maximal commun et tel que A ⊗ B ⊗j est d’indice divisant p pour
tout entier j [100]. D’autres exemples sont dus à Karpenko [107, th. II.1].
8.1.2 Application à la conjecture II
Théorème 8.1.5 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2 et que scd 3 (k) ≤ 2. Soit L/k une
extension de corps séparable cubique et soit G un k-groupe semi-simple simplement
connexe de type D 4 . On suppose que G est d’invariant extérieur [L] ∈ H 1 (k, S 3 ) et
on note A la L-algèbre d’Allen de G.
Si ind L (A) | 2, alors H 1 (k, G) = 1. En outre, si ind L (A) = 2, alors G est de
k-rang 1 et admet un k-sous-groupe parabolique de type {1, 3, 4}.
Démonstration On note L = L.k une clôture galoisienne de L/k. On peut
supposer que A est d’indice 2. D’après la Proposition 8.1.3, on a [A] = (χ) L ∪(c) où
χ est un caractère quadratique sur k. Notant E/k l’extension quadratique associée
à χ, il suit que A est déployée par L.E. Par suite, G E est quasi-déployé (d’après
le Théorème 6.0.1). On adapte alors la démonstration du cas trialitaire non cyclique
du Théorème 6.0.1 que nous reprenons intégralement par précaution.
Le Lemme 3.2.8 montre qu’il existe un k-tore S de G dont le centralisateur
M = C G (S) est tel que M E est un E-sous-groupe parabolique de G E de type
D 4 \ {2}. Alors M E est de type 3A 1 , d’invariant de Tits [L] ∈ H 1 (k, S 3 ). Le kgroupe M est une extension de R 1
E/k (G m ) par DM ∼ = R L/k (SL 1 (Q)) où Q est
une L-algèbre de quaternions déployée par L.E. Par suite DM admet un k-tore
maximal T 3 ∼ = R L/k (R 1
L.E/L (G m )) Alors M admet le k-tore maximal T = C M (T 3 )
qui est une extension de R 1
E/k (G m ) par T 3 . La suite exacte de k-tores 1 → T 3 →
R L.E/k (G m ) → R L/k (G m ) → 1 induit une suite exacte
Hom
R
1
E/k (G m ), R L/k (G m )
→ Ext
1
R
1
E/k (G m ), T 3
→ Ext
1
R
1
E/k (G m ), R L.E/k (G m )
.
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Remarque 8.1.4
(a) Dans le cas L = k 3 ou L = k × k, il s’agit d’un résultat d’Albert [115, Cor.
16.28, 16.29].
(b) Dans le cas quadratique, la démontration est une variante de celle de Tits [179].
Cette méthode a été développée par Krashen [117]. Il serait intéressant d’avoir
une démonstration du cas cubique en caractéristique libre, c’est-à-dire en évitant
le relèvement en caractéristique nulle.
(c) Ce résultat ne s’étend pas au cas d’un nombre premier impair. En effet,
pour chaque premier p impair, Jacob et Wadsworth ont contruit un corps F ,
des algèbres simples centrales A, B de degré p n’ayant aucun sous-corps
commutatif maximal commun et tel que A ⊗ B ⊗j est d’indice divisant p pour
tout entier j [100]. D’autres exemples sont dus à Karpenko [107, th. II.1].
8.1.2 Application à la conjecture II
Théorème 8.1.5 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2 et que scd 3 (k) ≤ 2. Soit L/k une
extension de corps séparable cubique et soit G un k-groupe semi-simple simplement
connexe de type D 4 . On suppose que G est d’invariant extérieur [L] ∈ H 1 (k, S 3 ) et
on note A la L-algèbre d’Allen de G.
Si ind L (A) | 2, alors H 1 (k, G) = 1. En outre, si ind L (A) = 2, alors G est de
k-rang 1 et admet un k-sous-groupe parabolique de type {1, 3, 4}.
Démonstration On note L = L.k une clôture galoisienne de L/k. On peut
supposer que A est d’indice 2. D’après la Proposition 8.1.3, on a [A] = (χ) L ∪(c) où
χ est un caractère quadratique sur k. Notant E/k l’extension quadratique associée
à χ, il suit que A est déployée par L.E. Par suite, G E est quasi-déployé (d’après
le Théorème 6.0.1). On adapte alors la démonstration du cas trialitaire non cyclique
du Théorème 6.0.1 que nous reprenons intégralement par précaution.
Le Lemme 3.2.8 montre qu’il existe un k-tore S de G dont le centralisateur
M = C G (S) est tel que M E est un E-sous-groupe parabolique de G E de type
D 4 \ {2}. Alors M E est de type 3A 1 , d’invariant de Tits [L] ∈ H 1 (k, S 3 ). Le kgroupe M est une extension de R 1
E/k (G m ) par DM ∼ = R L/k (SL 1 (Q)) où Q est
une L-algèbre de quaternions déployée par L.E. Par suite DM admet un k-tore
maximal T 3 ∼ = R L/k (R 1
L.E/L (G m )) Alors M admet le k-tore maximal T = C M (T 3 )
qui est une extension de R 1
E/k (G m ) par T 3 . La suite exacte de k-tores 1 → T 3 →
R L.E/k (G m ) → R L/k (G m ) → 1 induit une suite exacte
Hom
R
1
E/k (G m ), R L/k (G m )
→ Ext
1
R
1
E/k (G m ), T 3
→ Ext
1
R
1
E/k (G m ), R L.E/k (G m )
.