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8 Groupes exceptionnels
L est un corps. Dans le cas de caractéristique = 2, on renvoie à [115, prop. 43.9].
Nous supposons désormais que k est de caractéristique 2 et nous allons utiliser
un argument de relèvement en caractéristique nulle. On note O un anneau de
Cohen de k, c’est-à-dire un anneau complet de valuation discrète d’uniformisante
p de corps résiduel k et de corps des fractions K de caractéristique nulle [27,
IX.2.3, prop. 5]. Alors l’extension séparable L/k se relève en une extension étale
O M de O, i.e. O M /pO M est k-isomorphe à L. De façon plus précise, il existe
une extension cubique étale non ramifiée M de K telle que O M est l’anneau
de valuation pour l’unique valuation p-adique sur M prolongeant v. D’après
le lemme de Hensel [60, XXIV.8.1], la spécialisation H 1 (O M , PGL 2 ) →
H 1 (L, PGL 2 ) est un isomorphisme. En particulier, la L-algèbre de quaternions
Q (supposée non déployée) se relève en une O M -algèbre de quaternions Q.
D’après le cas de caractéristique = 2, il existe une extension quadratique K
de K telle que Q M ⊗ K K est déployée. On note O l’anneau de valuation de
K et k le corps résiduel de O . On considère le O M -schéma de Sevri-Brauer
SB(Q). Ce O M -schéma est projectif et SB(Q)(M ⊗ K K ) = ∅. Par suite,
SB(Q)(O M ⊗ O O ) = ∅ d’où SB(Q)(L ⊗ k k ) = ∅. Ainsi Q est déployée
par l’extension quadratique k /k. Comme Q est non déployée, on a [k : k] = 2.
Si k est séparable sur k, cette étape est finie. On se concentre donc sur le cas
k = k(
√
b) avec b ∈ k × . Comme L(
√
b) déploie Q, on sait qu’il existe
un caractère θ ∈ H 1 (L, Z/2Z) satisfaisant [Q] = θ ∪ (b) (Hochschild, [86,
th. 9.1.1]). En d’autres mots, il existe a ∈ L tel que n Q = =1, b ⊗ [1, a].
Nous prétendons que Q est déployée par l’extension quadratique séparable
L = k[t]/(t 2 + t + b).
Ayant en tête le critère 7.1.1, on étudie l’isotropie de la forme quadratique non
dégénérée
φ = n Q ⊥ [1, b] = =1, b ⊥ [1, b].
La forme φ contient comme sous-forme b b]. Cette forme contient un sousespace totalement isotrope de dimension ≥ 2, donc l’indice de Witt de φ est ≥ 2 [63,
prop. 8.11]. Le critère 7.1.1 montre ainsi que Q est déployée par L[t]/(t 2 + t + b).
On donc trouvé dans tous les cas un caractère χ ∈ H 1 (k, Z/2Z) tel que
L χ = L ⊗ k k χ déploie Q. On considère la suite exacte de L-groupes 1 → μ 2 →
R L χ /L (μ 2 ) → μ 2 → 1. Elle induit une suite exacte
L
× /L
×2 ∼
−→ H
1
fppf (L, μ 2 )
χ L ∪
− −− → H
2
fppf (L, μ 2 ) → H
2
fppf (L χ , μ 2 )
Ainsi, il existe c ∈ L × tel que [Q] = χ L ∪ (c) ∈ Br(L). Suivant la formule de
projection, on a
0 = Cores
L
k
[Q]
= Cores
L
k
χ L ∪ (c)
= χ ∪
N L/k (c)
∈ Br(k).
Par suite, N L/k (c) ∈ N k χ /k (k ×
χ ). Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, il existe
c ∈ L × tel que [Q] = χ L ∪ (c) = χ L ∪ (c ) et N L/k (c ) = 1.
8 Groupes exceptionnels
L est un corps. Dans le cas de caractéristique = 2, on renvoie à [115, prop. 43.9].
Nous supposons désormais que k est de caractéristique 2 et nous allons utiliser
un argument de relèvement en caractéristique nulle. On note O un anneau de
Cohen de k, c’est-à-dire un anneau complet de valuation discrète d’uniformisante
p de corps résiduel k et de corps des fractions K de caractéristique nulle [27,
IX.2.3, prop. 5]. Alors l’extension séparable L/k se relève en une extension étale
O M de O, i.e. O M /pO M est k-isomorphe à L. De façon plus précise, il existe
une extension cubique étale non ramifiée M de K telle que O M est l’anneau
de valuation pour l’unique valuation p-adique sur M prolongeant v. D’après
le lemme de Hensel [60, XXIV.8.1], la spécialisation H 1 (O M , PGL 2 ) →
H 1 (L, PGL 2 ) est un isomorphisme. En particulier, la L-algèbre de quaternions
Q (supposée non déployée) se relève en une O M -algèbre de quaternions Q.
D’après le cas de caractéristique = 2, il existe une extension quadratique K
de K telle que Q M ⊗ K K est déployée. On note O l’anneau de valuation de
K et k le corps résiduel de O . On considère le O M -schéma de Sevri-Brauer
SB(Q). Ce O M -schéma est projectif et SB(Q)(M ⊗ K K ) = ∅. Par suite,
SB(Q)(O M ⊗ O O ) = ∅ d’où SB(Q)(L ⊗ k k ) = ∅. Ainsi Q est déployée
par l’extension quadratique k /k. Comme Q est non déployée, on a [k : k] = 2.
Si k est séparable sur k, cette étape est finie. On se concentre donc sur le cas
k = k(
√
b) avec b ∈ k × . Comme L(
√
b) déploie Q, on sait qu’il existe
un caractère θ ∈ H 1 (L, Z/2Z) satisfaisant [Q] = θ ∪ (b) (Hochschild, [86,
th. 9.1.1]). En d’autres mots, il existe a ∈ L tel que n Q = =1, b ⊗ [1, a].
Nous prétendons que Q est déployée par l’extension quadratique séparable
L = k[t]/(t 2 + t + b).
Ayant en tête le critère 7.1.1, on étudie l’isotropie de la forme quadratique non
dégénérée
φ = n Q ⊥ [1, b] = =1, b ⊥ [1, b].
La forme φ contient comme sous-forme b b]. Cette forme contient un sousespace totalement isotrope de dimension ≥ 2, donc l’indice de Witt de φ est ≥ 2 [63,
prop. 8.11]. Le critère 7.1.1 montre ainsi que Q est déployée par L[t]/(t 2 + t + b).
On donc trouvé dans tous les cas un caractère χ ∈ H 1 (k, Z/2Z) tel que
L χ = L ⊗ k k χ déploie Q. On considère la suite exacte de L-groupes 1 → μ 2 →
R L χ /L (μ 2 ) → μ 2 → 1. Elle induit une suite exacte
L
× /L
×2 ∼
−→ H
1
fppf (L, μ 2 )
χ L ∪
− −− → H
2
fppf (L, μ 2 ) → H
2
fppf (L χ , μ 2 )
Ainsi, il existe c ∈ L × tel que [Q] = χ L ∪ (c) ∈ Br(L). Suivant la formule de
projection, on a
0 = Cores
L
k
[Q]
= Cores
L
k
χ L ∪ (c)
= χ ∪
N L/k (c)
∈ Br(k).
Par suite, N L/k (c) ∈ N k χ /k (k ×
χ ). Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, il existe
c ∈ L × tel que [Q] = χ L ∪ (c) = χ L ∪ (c ) et N L/k (c ) = 1.