8.1 Cas trialitaire
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le cas G t de rang 2, c’est-à-dire le cas quasi-déployé. On conclut que G t est de
k-rang 1.
On se propose de généraliser à la caractéristique 2 le fait suivant.
Proposition 8.1.3 ([115, prop. 43.9]) Soient L/k une extension cubique étale et Q
une L-algèbre de quaternions. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) Cores
L
k ([Q]) = 0 ∈ Br(k).
(ii) Il existe χ ∈ H 1 (k, Z/2Z) et c ∈ L × tels que [Q] = χ L ∪ (c) ∈ Br(L) et
N L/k (c) = 1.
Démonstration On peut supposer bien sûr le cas échéant que Q n’est pas déployée
et en particulier que k est infini.
(ii) ⇒ (i). Cela suit de la formule de projection.
(i) ⇒ (iii). Soit Q une L-algèbre de quaternions. Pour établir la réciproque,
nous allons distinguer plusieurs cas et montrer tout d’abord qu’il existe un caractère
χ ∈ H 1 (k, Z/2Z) tel que que L χ = L ⊗ k k χ déploie Q.
Dans ce but, on considère le plongement de Segre P 1
k × P 1
k P 3
k , ([x 1 :
y 1 ], [x 2 , y 2 ]) → [x 1 x 2 : y 1 y 2 : x 1 y 2 : y 1 x 2 ] dont l’image est la quadrique projective
d’équation XY = ZT . Le groupe algébrique H = (PGL 2 × PGL 2 ) Z/2Z agit sur
le plongement via le plongement naturel (PGL 2 × PGL 2 ) Z/2Z PGL 4 .
L = k × k: Ici k est une extension quadratique étale. On a Q = Q × Q 3 où Q est
une k -algèbre de quaternions et Q 0 une k-algèbre de quaternions.
On considère le H -torseur E = Isom(M 2 (k 2 ), Q ). En tordant le plongement de
Segre par E, on obtient un plongement
R k /k
SB(Q)
E P
3 .
Ainsi E P
3 est la variété de Severi–Brauer d’une algèbre B de dimension 4 et nous
affirmons que B = Cores k
k (Q ) où Cores k
k (Q ) désigne la corestriction pour les
algèbres simples centrales [173].
Si k = k × k, alors Q = Q 1 × Q 2 et B = Q 1 × Q 2 = Cores k
k (Q ). Si k
est un corps, on note σ : k → k la conjugaison; d’après le cas précédent, on a
B k = Q ⊗ σ Q et B correspond aux point fixes sous σ pour l’action σ (q 1 ⊗ q 2 ) =
σ (q 2 ) ⊗ σ (q 1 ). Ainsi par définition de la corestriction, on a B = Cores k
k (Q ).
Notre hypothèse est que B est isomorphe à M 2 (Q 3 ) et en particulier n’est
pas à division. Cela signifie que la variété SB 2 (B) des idéaux à droite de A de
dimension 8 a un point rationnel. Or géométriquement, SB 2 (B) est isomorphe à la
grassmanienne Gr 4
2 . Ainsi un point y ∈ SB 2 (B)(k) donne naissance à un hyperplan
P y de X. D’après le théorème de Bertini [103, cor. 6.11], pour un point y ∈ Y (k)
général, P y intersecte R k /k
SB(Q )
en une courbe lisse C. Cette courbe est de
genre 0, elle admet donc un point rationnel dans une extension étale quadratique F
de k. Par suite, Q est déployée par l’extension k ⊗ k F et on conclut que Q est
déployée par l’extension L ⊗ k F .
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le cas G t de rang 2, c’est-à-dire le cas quasi-déployé. On conclut que G t est de
k-rang 1.
On se propose de généraliser à la caractéristique 2 le fait suivant.
Proposition 8.1.3 ([115, prop. 43.9]) Soient L/k une extension cubique étale et Q
une L-algèbre de quaternions. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) Cores
L
k ([Q]) = 0 ∈ Br(k).
(ii) Il existe χ ∈ H 1 (k, Z/2Z) et c ∈ L × tels que [Q] = χ L ∪ (c) ∈ Br(L) et
N L/k (c) = 1.
Démonstration On peut supposer bien sûr le cas échéant que Q n’est pas déployée
et en particulier que k est infini.
(ii) ⇒ (i). Cela suit de la formule de projection.
(i) ⇒ (iii). Soit Q une L-algèbre de quaternions. Pour établir la réciproque,
nous allons distinguer plusieurs cas et montrer tout d’abord qu’il existe un caractère
χ ∈ H 1 (k, Z/2Z) tel que que L χ = L ⊗ k k χ déploie Q.
Dans ce but, on considère le plongement de Segre P 1
k × P 1
k P 3
k , ([x 1 :
y 1 ], [x 2 , y 2 ]) → [x 1 x 2 : y 1 y 2 : x 1 y 2 : y 1 x 2 ] dont l’image est la quadrique projective
d’équation XY = ZT . Le groupe algébrique H = (PGL 2 × PGL 2 ) Z/2Z agit sur
le plongement via le plongement naturel (PGL 2 × PGL 2 ) Z/2Z PGL 4 .
L = k × k: Ici k est une extension quadratique étale. On a Q = Q × Q 3 où Q est
une k -algèbre de quaternions et Q 0 une k-algèbre de quaternions.
On considère le H -torseur E = Isom(M 2 (k 2 ), Q ). En tordant le plongement de
Segre par E, on obtient un plongement
R k /k
SB(Q)
E P
3 .
Ainsi E P
3 est la variété de Severi–Brauer d’une algèbre B de dimension 4 et nous
affirmons que B = Cores k
k (Q ) où Cores k
k (Q ) désigne la corestriction pour les
algèbres simples centrales [173].
Si k = k × k, alors Q = Q 1 × Q 2 et B = Q 1 × Q 2 = Cores k
k (Q ). Si k
est un corps, on note σ : k → k la conjugaison; d’après le cas précédent, on a
B k = Q ⊗ σ Q et B correspond aux point fixes sous σ pour l’action σ (q 1 ⊗ q 2 ) =
σ (q 2 ) ⊗ σ (q 1 ). Ainsi par définition de la corestriction, on a B = Cores k
k (Q ).
Notre hypothèse est que B est isomorphe à M 2 (Q 3 ) et en particulier n’est
pas à division. Cela signifie que la variété SB 2 (B) des idéaux à droite de A de
dimension 8 a un point rationnel. Or géométriquement, SB 2 (B) est isomorphe à la
grassmanienne Gr 4
2 . Ainsi un point y ∈ SB 2 (B)(k) donne naissance à un hyperplan
P y de X. D’après le théorème de Bertini [103, cor. 6.11], pour un point y ∈ Y (k)
général, P y intersecte R k /k
SB(Q )
en une courbe lisse C. Cette courbe est de
genre 0, elle admet donc un point rationnel dans une extension étale quadratique F
de k. Par suite, Q est déployée par l’extension k ⊗ k F et on conclut que Q est
déployée par l’extension L ⊗ k F .