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8 Groupes exceptionnels
H 1 (k, M/μ) dans H 1 (L, PGL 2 ) est bien identifiée. Par ailleurs, vu que G m
est central dans M/μ et que H 1 (k, G m ) = 1, la flèche H 1 (k, M) →
H 1 (k, R L/k (PGL 2 )) est injective [159, I.5.7, prop. 42].
(3) C’est un corollaire immédiat du (2).
On généralise en caractéristique libre le résultat suivant de Garibaldi [67] établi
originellement en caractéristique = 2.
Proposition 8.1.2 Soient L/k une extension cubique étale et t∈H 2
fppf (k, R 1
L/k (μ 2 )).
On suppose que l’image de t dans Br(L) par l’application (∗) consiste en des
algèbres d’indice ≤ 2. Alors il existe une unique k-forme G t de G 0 satisfaisant les
conditions suivantes:
(i) G t est de « discriminant cubique » [L] ∈ H 1 (k, S 3 ) et t G = t.
(ii) G t admet un k-sous-groupe parabolique de type {1, 3, 4}.
En outre, si L est un corps et t = 0, alors G t est de k-rang 1.
Démonstration On note G q un k-groupe quasi-déployé de type D 4 d’invariant
cubique [L]. On note M un k-groupe de Levi du k-groupe parabolique de G q de
type {1, 3, 4}. Le diagramme commutatif
1
μ
M
M/ μ
1
1
μ
G q
G
q
ad
1
donne lieu au diagramme commutatif de bords
H 1 (k, M/μ)
∂
H 2
fppf (k, μ)
H 1 (k, G
q
ad )
∂ 2
H 2
fppf (k, μ) .
D’après le Lemme 8.1.1.(3), t appartient à l’image de ∂. Ainsi il existe [z] ∈
H 1 (k, M/μ) d’image t suivant ∂. Alors la classe de Tits du k-groupe tordu z G
q
est t (§2.2.4) et z G
q admet par construction un k-sous-groupe parabolique de type
{1, 3, 4}. Ceci montre l’existence.
Pour l’unicité, on se donne deux k-formes intérieures G, G de G q ayant même
classe de Tits et admettant un k-sous-groupe parabolique de type {1, 3, 4}. D’après
Witt-Tits [175, prop. 4], on peut supposer que G = z G
q et G = z G
q où [z], [z ]
sont des classes de H 1 (k, M/μ). La compatibilité ci-dessus indique que ∂([z]) =
∂([z ]) ∈ H 2
fppf (k, μ). Comme H 1 (k, M/μ) s’injecte dans H 2
fppf (k, μ) en vertu du
Lemme 8.1.1, on conclut que [z] = [z ] ∈ H 1 (k, M/μ) et donc que G et G sont
k-isomorphes.
On suppose maintenant que L est un corps et t = 0, en particulier G t n’est pas
quasi-déployé. Comme G t est de k-rang ≥ 1, les tables nous ramènent à exclure
8 Groupes exceptionnels
H 1 (k, M/μ) dans H 1 (L, PGL 2 ) est bien identifiée. Par ailleurs, vu que G m
est central dans M/μ et que H 1 (k, G m ) = 1, la flèche H 1 (k, M) →
H 1 (k, R L/k (PGL 2 )) est injective [159, I.5.7, prop. 42].
(3) C’est un corollaire immédiat du (2).
On généralise en caractéristique libre le résultat suivant de Garibaldi [67] établi
originellement en caractéristique = 2.
Proposition 8.1.2 Soient L/k une extension cubique étale et t∈H 2
fppf (k, R 1
L/k (μ 2 )).
On suppose que l’image de t dans Br(L) par l’application (∗) consiste en des
algèbres d’indice ≤ 2. Alors il existe une unique k-forme G t de G 0 satisfaisant les
conditions suivantes:
(i) G t est de « discriminant cubique » [L] ∈ H 1 (k, S 3 ) et t G = t.
(ii) G t admet un k-sous-groupe parabolique de type {1, 3, 4}.
En outre, si L est un corps et t = 0, alors G t est de k-rang 1.
Démonstration On note G q un k-groupe quasi-déployé de type D 4 d’invariant
cubique [L]. On note M un k-groupe de Levi du k-groupe parabolique de G q de
type {1, 3, 4}. Le diagramme commutatif
1
μ
M
M/ μ
1
1
μ
G q
G
q
ad
1
donne lieu au diagramme commutatif de bords
H 1 (k, M/μ)
∂
H 2
fppf (k, μ)
H 1 (k, G
q
ad )
∂ 2
H 2
fppf (k, μ) .
D’après le Lemme 8.1.1.(3), t appartient à l’image de ∂. Ainsi il existe [z] ∈
H 1 (k, M/μ) d’image t suivant ∂. Alors la classe de Tits du k-groupe tordu z G
q
est t (§2.2.4) et z G
q admet par construction un k-sous-groupe parabolique de type
{1, 3, 4}. Ceci montre l’existence.
Pour l’unicité, on se donne deux k-formes intérieures G, G de G q ayant même
classe de Tits et admettant un k-sous-groupe parabolique de type {1, 3, 4}. D’après
Witt-Tits [175, prop. 4], on peut supposer que G = z G
q et G = z G
q où [z], [z ]
sont des classes de H 1 (k, M/μ). La compatibilité ci-dessus indique que ∂([z]) =
∂([z ]) ∈ H 2
fppf (k, μ). Comme H 1 (k, M/μ) s’injecte dans H 2
fppf (k, μ) en vertu du
Lemme 8.1.1, on conclut que [z] = [z ] ∈ H 1 (k, M/μ) et donc que G et G sont
k-isomorphes.
On suppose maintenant que L est un corps et t = 0, en particulier G t n’est pas
quasi-déployé. Comme G t est de k-rang ≥ 1, les tables nous ramènent à exclure