8.1 Cas trialitaire
123
connexe de type A
3
1 . En d’autres mots, on a une suite exacte (scindée)
1 → R L/k (SL 2 ) → M → G m → 1. On a μ ⊂ M et le point 1 est que
μ ⊂ R L/k (μ 2 ) ⊂ DM. On a donc un diagramme commutatif
1
1
1
μ 2
G m
G m
1
1
R L/k (SL 2 )/μ
M/μ
G m
1.
R L/k (PGL 2 )
∼
R L/k (PGL 2 )
1
1
Ce diagramme donne lieu à la suite exacte désirée 1 → G m → M/μ →
R L/k (PGL 2 ) → 1 qui s’insère dans le diagramme de l’énoncé.
(2) Il vient une suite exacte d’ensembles pointés
H
1 (k, M/μ) → H
1 (k, R L/k (PGL 2 ))
∂
− → Br(k).
L’ensemble H 1 (k, R L/k (PGL 2 ))
∼
−→ H 1 (L, PGL 2 ) classifie les L-algèbres
de quaternions. Le diagramme commutatif du (1) montre la commutativité du
diagramme
H 1 (L, PGL 2 )
H 2
fppf (L, μ 2 )
H 1 (k, R L/k (PGL 2 ))
H 2
fppf (k, R L/k (μ 2 ))
N L/k
H 1 (k, R L/k (PGL 2 ))
∂ H 2
fppf (k, G m ) = Br(k)
où la flèche horizontale du haut est le bord H 1 (L, PGL 2 ) → H 2
fppf (L, μ 2 )
associé à la suite exacte 1 → μ 2 → SL 2 → PGL 2 → 1.
La classe d’une L-algèbre de quaternions [Q] ∈ H 1 (L, PGL 2 ) s’applique
donc suivant ∂ sur Cores
L
k ([Q]) ∈ Br(k). Ceci montre que l’image de
1 C’est un petit calcul de racines; noter que le cas où L/k est un corps est évident puisque on a
alors μ(k) = 0.