122
8 Groupes exceptionnels
en vertu du lemme de Shapiro. Comme [L : k] = 3, la corestriction est surjective,
d’où des isomorphismes
(∗)
H
2 (k, μ G )
∼
−→ ker
H
2
fppf (L, μ 2 ) → H
2
fppf (k, μ 2 )
∼
−→ ker
2 Br(L) → 2 Br(k)
.
L’image de la classe de Tits t G dans Br(L) est la classe d’une L-algèbre simple
centrale de degré 8 et de période 2 appelée l’algèbre d’Allen de G (ou encore
l’algèbre de Tits de G).
8.1.1 Quaternions et trialité
Lemme 8.1.1 Soient L/k une extension cubique étale et G un k-groupe quasidéployé semi-simple simplement connexe d’invariant cubique [L]. On note μ le
centre de G et M un k-sous-groupe de Levi d’un k-sous-groupe parabolique P de
G de type {1, 3, 4}, i.e.
α 2
α 3
α 1
α 4
(1) On a une suite exacte 1 → G m → M/μ → R L/k (PGL 2 ) → 1. Elle s’insère
dans le diagramme commutatif à lignes exactes
1
R L/k (μ 2 )
N L/k
R L/k (SL 2 )
R L/k (PGL 2 )
1
1
μ 2
R L/k (SL 2 )/μ
R L/k (PGL 2 )
1
1
G m
M/μ
R L/k (PGL 2 )
1.
(2) L’application H 1 (k, M/μ) → H 1 (k, R L/k (PGL 2 )) ∼ = H 1 (L, PGL 2 ) est
injective et son image consiste en les classes de L-algèbres de quaternions [Q]
satisfaisant Cores
L
k ([Q]) = 0 ∈ Br(k).
(3) L’application H 1 (k, M/μ) → H 2
fppf (k, μ)
∼
−→ Ker
2 Br(L) → 2 Br(k)
est
injective et son image consiste en les classes de L-algèbres de quaternions [Q]
satisfaisant Cores
L
k ([Q]) = 0 ∈ Br(k).
Démonstration
(1) Le k-groupe M vient avec un k-tore maximal T isomorphe à R L/k (G m ) × G m .
Ainsi on a un isomorphisme M ∼ = DM × G m et DM est simplement