Chapitre 8
Groupes exceptionnels
Le point culminant de ce chapitre est l’étude de la conjecture II pour les groupes
de type E 7 . On produit aussi une liste de résultats partiels pour les groupes de type
exceptionnel de type D 4 , E 6 et E 8 . Rappelons que le cas des groupes de type G 2 et
F 4 a été traité au chapitre précédent, voir le Corollaire 6.0.3.
8.1 Cas trialitaire
On note G 0 le groupe algébrique semi-simple simplement connexe déployé de type
D 4 . On a une suite exacte (scindée)
1 → G 0,ad → Aut(G 0 ) → S 3 → 1,
d’où un invariant Cub : H 1 (k, Aut(G 0 )) → H 1 (k, S 3 ). Vu que l’ensemble
H 1 (k, Aut(G 0 )) classifie les k-formes de type G 0 (i.e. les groupes semi-simples
simplement connexe de type D 4 ) et que H 1 (k, S 3 ) classifie les extensions cubiques
étales, on voit que l’on peut associer à une k-forme G de G 0 une classe d’isomorphisme d’algèbre étale cubique L/k. En étant plus précis [82, §8.1], on associe à G
le S 3 -torseur G 0,ad \Isom(G 0 , G), c’est-à-dire une extension étale cubique de k. De
plus, on dispose d’un isomorphisme μ G
∼
−→ R 1
L/k (μ 2 ).
La suite exacte 1 → R 1
L/k (μ 2 ) → R L/k (μ 2 ) → μ 2 → 1 donne lieu à une suite
exacte
H
2
fppf (L, μ 2 )
Cores
− −− → H
1
fppf (k, μ 3 ) → H
2
fppf (k, μ G ) → H
2
fppf (L, μ 3 )
Cores
− −− → H
2
fppf (k, μ 3 )
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_8
121
Groupes exceptionnels
Le point culminant de ce chapitre est l’étude de la conjecture II pour les groupes
de type E 7 . On produit aussi une liste de résultats partiels pour les groupes de type
exceptionnel de type D 4 , E 6 et E 8 . Rappelons que le cas des groupes de type G 2 et
F 4 a été traité au chapitre précédent, voir le Corollaire 6.0.3.
8.1 Cas trialitaire
On note G 0 le groupe algébrique semi-simple simplement connexe déployé de type
D 4 . On a une suite exacte (scindée)
1 → G 0,ad → Aut(G 0 ) → S 3 → 1,
d’où un invariant Cub : H 1 (k, Aut(G 0 )) → H 1 (k, S 3 ). Vu que l’ensemble
H 1 (k, Aut(G 0 )) classifie les k-formes de type G 0 (i.e. les groupes semi-simples
simplement connexe de type D 4 ) et que H 1 (k, S 3 ) classifie les extensions cubiques
étales, on voit que l’on peut associer à une k-forme G de G 0 une classe d’isomorphisme d’algèbre étale cubique L/k. En étant plus précis [82, §8.1], on associe à G
le S 3 -torseur G 0,ad \Isom(G 0 , G), c’est-à-dire une extension étale cubique de k. De
plus, on dispose d’un isomorphisme μ G
∼
−→ R 1
L/k (μ 2 ).
La suite exacte 1 → R 1
L/k (μ 2 ) → R L/k (μ 2 ) → μ 2 → 1 donne lieu à une suite
exacte
H
2
fppf (L, μ 2 )
Cores
− −− → H
1
fppf (k, μ 3 ) → H
2
fppf (k, μ G ) → H
2
fppf (L, μ 3 )
Cores
− −− → H
2
fppf (k, μ 3 )
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_8
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