7.4 Le cas de type D
119
Notes
Le théorème de Sivatski présenté ici se trouve dans l’article de Kahn [105] où
il est attribué à Merkurjev. En fait, ce résultat est issu de la thèse de Sivatski et
notre contribution a été de l’étendre au cas de caractéristique 2. Ceci a été fait
indépendamment par Barry/Chapman [8, §4]. Par ailleurs, sous les conditions du
théorème de Sivatski, Barry a montré qu’étant donnés une k-algèbre simple centrale
à division D de période 2 et un élement d ∈ D satisfaisant d 2 ∈ k, alors d se plonge
dans une sous-algèbre de quaternions de D [7, prop. 3.2].
Notre approche pour les groupes classiques s’appuie fortement sur la démonstration originelle de Bayer-Fluckiger/Parimala et sur son raffinement en caractéristique
libre de Bérhuy-Frings-Tignol. Ceci étant, nous avons privilégié des techniques
de cohomologie galoisienne qui se sont substituées à la chimie des involutions
(notamment les algèbres de Clifford) et aux divers groupes de Witt.
Enfin, il serait intéressant d’établir une classification plus précise des formes
(anti)-hermitiennes sur une algèbre à involution.
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Notes
Le théorème de Sivatski présenté ici se trouve dans l’article de Kahn [105] où
il est attribué à Merkurjev. En fait, ce résultat est issu de la thèse de Sivatski et
notre contribution a été de l’étendre au cas de caractéristique 2. Ceci a été fait
indépendamment par Barry/Chapman [8, §4]. Par ailleurs, sous les conditions du
théorème de Sivatski, Barry a montré qu’étant donnés une k-algèbre simple centrale
à division D de période 2 et un élement d ∈ D satisfaisant d 2 ∈ k, alors d se plonge
dans une sous-algèbre de quaternions de D [7, prop. 3.2].
Notre approche pour les groupes classiques s’appuie fortement sur la démonstration originelle de Bayer-Fluckiger/Parimala et sur son raffinement en caractéristique
libre de Bérhuy-Frings-Tignol. Ceci étant, nous avons privilégié des techniques
de cohomologie galoisienne qui se sont substituées à la chimie des involutions
(notamment les algèbres de Clifford) et aux divers groupes de Witt.
Enfin, il serait intéressant d’établir une classification plus précise des formes
(anti)-hermitiennes sur une algèbre à involution.