118
7 Groupes classiques
Remarque 7.4.15 Pour (2), dans le cas de caractéristique = 2, on aurait pu utiliser
aussi un résultat de Tao [170, th. 1.1].
7.4.4 Cas où D est une k-algèbre de biquaternions
On suppose que D = Q 1 ⊗ Q 2 est une algèbre à division de biquaternions munie
de l’involution de première espèce θ = θ 1 ⊗ θ 2 , produit tensoriel des involutions
canoniques des algèbres de quaternions respectives. Suivant [174, prop. 3.11], D est
munie d’une paire quadratique (θ, f ⊗ ) déterminée par la propriété f ⊗ (q 1 ⊗ q 2 ) = 0
pour tous q 1 ∈ Sym(Q 1 , θ 1 ), q 2 ∈ Sym(Q 1 , θ 2 ). En outre cette paire quadratique
est de discriminant trivial et un relèvement hermitien est h ⊗ : D × D → D défini
par h ⊗ (d 1 , d 2 ) = θ(d 1 )d 2 .
Proposition 7.4.16 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soient χ ∈ H 1 (k, Z/2Z) et b ∈
k × .
(1) Il existe une paire quadratique (D, σ 1 , f 1 ) de discriminant χ.
(2) Il existe une unique paire quadratique (M 2 (D), σ 2 , f 2 ) de discriminant trivial
et d’invariant de Clifford [χ, b).
(3) Soit (h 2 , f 2 ) un relevé hermitien de (σ 2 , f 2 ). Soit (h, f ) un relevé hermitien
d’une paire quadratique sur (End D (V ), σ, f ) où V est de dimension r = 2r 0 ≥
2. Si (σ, f ) est de discriminant trivial et d’invariant de Clifford [χ, b), alors
(h, f ) est isométrique à (h 2 , f 2 ) ⊥ (H D ) r 0 −1 .
Démonstration
(1) Cas de caractéristique = 2. Dans ce cas χ correspond à une classe (a) ∈
k × /(k × ) 2 . Comme Nrd(D) = k × , on sait que (a) est le discriminant d’une
involution orthogonale σ 1 sur D [114, theorem page 282] (ou [145, Th. 2.1]).
Celle ci-définit f 1 .
Cas de caractéristique = 2. De façon surprenante, on n’utilise pas ici
l’hypothèse de dimension cohomologique. L’existence de (σ 1 , f 1 ) est un cas
particulier d’un théorème de Berhuy [13, th. 2 de l’erratum], voir aussi [174,
prop. 5.1].
(2) L’unicité à isomorphisme près suit du Corollaire 7.4.12. Pour l’existence, on
écrit M 2 (D) = D ⊗ k M 2 (k) que l’on munit de l’involution σ 2 = σ 1 ⊗ τ ϕ
où ϕ est adjointe à la forme bilinéaire −b. D’après le Lemme 7.4.14, la
paire quadratique (σ 2 , f ∗ ) est de discriminant trivial et d’invariant de Clifford
[χ, b) ∈ Br(k)/Z.[A].
7 Groupes classiques
Remarque 7.4.15 Pour (2), dans le cas de caractéristique = 2, on aurait pu utiliser
aussi un résultat de Tao [170, th. 1.1].
7.4.4 Cas où D est une k-algèbre de biquaternions
On suppose que D = Q 1 ⊗ Q 2 est une algèbre à division de biquaternions munie
de l’involution de première espèce θ = θ 1 ⊗ θ 2 , produit tensoriel des involutions
canoniques des algèbres de quaternions respectives. Suivant [174, prop. 3.11], D est
munie d’une paire quadratique (θ, f ⊗ ) déterminée par la propriété f ⊗ (q 1 ⊗ q 2 ) = 0
pour tous q 1 ∈ Sym(Q 1 , θ 1 ), q 2 ∈ Sym(Q 1 , θ 2 ). En outre cette paire quadratique
est de discriminant trivial et un relèvement hermitien est h ⊗ : D × D → D défini
par h ⊗ (d 1 , d 2 ) = θ(d 1 )d 2 .
Proposition 7.4.16 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soient χ ∈ H 1 (k, Z/2Z) et b ∈
k × .
(1) Il existe une paire quadratique (D, σ 1 , f 1 ) de discriminant χ.
(2) Il existe une unique paire quadratique (M 2 (D), σ 2 , f 2 ) de discriminant trivial
et d’invariant de Clifford [χ, b).
(3) Soit (h 2 , f 2 ) un relevé hermitien de (σ 2 , f 2 ). Soit (h, f ) un relevé hermitien
d’une paire quadratique sur (End D (V ), σ, f ) où V est de dimension r = 2r 0 ≥
2. Si (σ, f ) est de discriminant trivial et d’invariant de Clifford [χ, b), alors
(h, f ) est isométrique à (h 2 , f 2 ) ⊥ (H D ) r 0 −1 .
Démonstration
(1) Cas de caractéristique = 2. Dans ce cas χ correspond à une classe (a) ∈
k × /(k × ) 2 . Comme Nrd(D) = k × , on sait que (a) est le discriminant d’une
involution orthogonale σ 1 sur D [114, theorem page 282] (ou [145, Th. 2.1]).
Celle ci-définit f 1 .
Cas de caractéristique = 2. De façon surprenante, on n’utilise pas ici
l’hypothèse de dimension cohomologique. L’existence de (σ 1 , f 1 ) est un cas
particulier d’un théorème de Berhuy [13, th. 2 de l’erratum], voir aussi [174,
prop. 5.1].
(2) L’unicité à isomorphisme près suit du Corollaire 7.4.12. Pour l’existence, on
écrit M 2 (D) = D ⊗ k M 2 (k) que l’on munit de l’involution σ 2 = σ 1 ⊗ τ ϕ
où ϕ est adjointe à la forme bilinéaire −b. D’après le Lemme 7.4.14, la
paire quadratique (σ 2 , f ∗ ) est de discriminant trivial et d’invariant de Clifford
[χ, b) ∈ Br(k)/Z.[A].