7.4 Le cas de type D
117
Cl (H,F ) (H , F ) = 0. Or le relèvement hermitien (H, F ) est hyperbolique,
le premier cas montre que (H , F ) = (h, f ) ⊥ (−h , f ) est hyperbolique,
donc isomorphe à (h, f ) ⊥ (−h, f ). En appliquant la simplification de Witt
(Théorème 7.4.7), on conclut que (h, f ) ∼ = (h , f ).
Remarque 7.4.11 Si l’on suppose l’hypothèse plus forte scd(k) ≤ 2, la démonstration ne nécessite pas le théorème de Bayer-Fluckiger/Lenstra [10].
En tenant compte du Lemme 7.4.6, la Proposition 7.4.10 donne lieu à la
classification suivante.
Corollaire 7.4.12 On se place sous les hypothèses de la Proposition 7.4.10. Soit
A = End V (D) de degré 2n ≥ 2. Les paires quadratiques sur A de discriminant
trivial sont classifiées par leur invariant de Clifford e 2 .
Remarque 7.4.13 Pour une version plus générale en termes d’algèbres de Clifford,
voir [15, Cor 5.3].
7.4.3 Produit tensoriel
Soient A une k-algèbre simple centrale de degré pair munie d’une paire quadratique
(σ, f ) et (B, τ ) une k-algèbre munie d’une involution de première espèce. On
sait que le produit tensoriel (A ⊗ k B, σ ⊗ τ ) est munie d’une paire quadratique
(A ⊗ k B, σ ⊗ τ, f ∗ ) uniquement déterminée par la propriété suivante [115, 5.18]:
f ∗ (s ⊗ t) = f (s) Trd B (t)
pour s ∈ Sym(A, σ ) et t ∈ Sym(B, τ ).
Lemme 7.4.14 On suppose que B = M 2m (k) et que τ est adjointe à une forme
bilinéaire diagonale régulière 1 , . . . , b 2m avec 2m ≥ 2. Alors (A⊗ k B, σ ⊗τ, f ∗ )
a un discriminant trivial et son invariant de Clifford vaut
[χ, b) ∈ Br(k)/Z.[A]
où χ ∈ H 1 (k, Z/2Z) désigne le discriminant de (A, σ, f ) et b = (b 1 . . . b 2m ) m .
Démonstration On utilise une fois de plus l’astuce d’étendre les scalaires au corps
K = k(X) où X désigne la variété de Severi-Brauer de A. Cela permet de supposer
que la paire (σ, f ) est adjointe à une forme quadratique régulière q (comme dans
l’Exemple 7.4.1). Dans ce cas, (σ ⊗ τ, f ∗ ) est adjointe à la forme quadratique
q ⊗ ⊗b 1 , . . . , b 2m [115, 5.19]. L’invariant de Arf de cette forme est trivial et son
invariant de Clifford se calcule modulo I
q
3 (k). En effet, on a q = n χ modulo I q (k),
d’où q ⊗ ⊗b 1 , . . . , b 2m = n χ b modulo I 3
q (k). Cet invariant vaut donc bien
[χ, b).
117
Cl (H,F ) (H , F ) = 0. Or le relèvement hermitien (H, F ) est hyperbolique,
le premier cas montre que (H , F ) = (h, f ) ⊥ (−h , f ) est hyperbolique,
donc isomorphe à (h, f ) ⊥ (−h, f ). En appliquant la simplification de Witt
(Théorème 7.4.7), on conclut que (h, f ) ∼ = (h , f ).
Remarque 7.4.11 Si l’on suppose l’hypothèse plus forte scd(k) ≤ 2, la démonstration ne nécessite pas le théorème de Bayer-Fluckiger/Lenstra [10].
En tenant compte du Lemme 7.4.6, la Proposition 7.4.10 donne lieu à la
classification suivante.
Corollaire 7.4.12 On se place sous les hypothèses de la Proposition 7.4.10. Soit
A = End V (D) de degré 2n ≥ 2. Les paires quadratiques sur A de discriminant
trivial sont classifiées par leur invariant de Clifford e 2 .
Remarque 7.4.13 Pour une version plus générale en termes d’algèbres de Clifford,
voir [15, Cor 5.3].
7.4.3 Produit tensoriel
Soient A une k-algèbre simple centrale de degré pair munie d’une paire quadratique
(σ, f ) et (B, τ ) une k-algèbre munie d’une involution de première espèce. On
sait que le produit tensoriel (A ⊗ k B, σ ⊗ τ ) est munie d’une paire quadratique
(A ⊗ k B, σ ⊗ τ, f ∗ ) uniquement déterminée par la propriété suivante [115, 5.18]:
f ∗ (s ⊗ t) = f (s) Trd B (t)
pour s ∈ Sym(A, σ ) et t ∈ Sym(B, τ ).
Lemme 7.4.14 On suppose que B = M 2m (k) et que τ est adjointe à une forme
bilinéaire diagonale régulière 1 , . . . , b 2m avec 2m ≥ 2. Alors (A⊗ k B, σ ⊗τ, f ∗ )
a un discriminant trivial et son invariant de Clifford vaut
[χ, b) ∈ Br(k)/Z.[A]
où χ ∈ H 1 (k, Z/2Z) désigne le discriminant de (A, σ, f ) et b = (b 1 . . . b 2m ) m .
Démonstration On utilise une fois de plus l’astuce d’étendre les scalaires au corps
K = k(X) où X désigne la variété de Severi-Brauer de A. Cela permet de supposer
que la paire (σ, f ) est adjointe à une forme quadratique régulière q (comme dans
l’Exemple 7.4.1). Dans ce cas, (σ ⊗ τ, f ∗ ) est adjointe à la forme quadratique
q ⊗ ⊗b 1 , . . . , b 2m [115, 5.19]. L’invariant de Arf de cette forme est trivial et son
invariant de Clifford se calcule modulo I
q
3 (k). En effet, on a q = n χ modulo I q (k),
d’où q ⊗ ⊗b 1 , . . . , b 2m = n χ b modulo I 3
q (k). Cet invariant vaut donc bien
[χ, b).