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7 Groupes classiques
applique [z] sur 1 et il suit que ρ ∗ [z] ∈ ker
H 1 (k, SU(V , h, f )) →
H 1 (k, U(V , h, f ))
. Ceci étant, le composé
Z/2Z → H
1 (k, SU(V , h, f ))
δ
− → H
2
fppf (k, μ 2 )
applique 1 sur [D] = 0 (Lemme 7.4.5.(2)). Comme δ(p ∗ [z]) = 0 il vient
p ∗ [z] = 1 ∈ H 1 (k, SU(V , h, f )), d’où finalement [z] = 1 ∈ H 1 (k, G) en vertu de
la Proposition 5.4.1.
On procède maintenant à la démonstration de la Proposition 7.4.10.
Démonstration L’ implication (i) ⇒ (ii) est triviale. On va montrer la réciproque
par récurrence sur d = 2 a ≥ 1 en tenant compte du Théorème 7.4.9 aussi dans
la récurrence et du cas des formes quadratiques qui est le cas d = 1. On sait que
D est un produit tensoriel d’algèbres de quaternions (Th. 7.1.5) donc il existe une
extension quadratique étale L/k de corps qui se plonge dans D. En particulier, D L
est d’indice 2 a−1 . On note σ la conjugaison sur L. Soit donc (h , f ) une paire
hermitienne satisfaisant (ii).
Premier cas: (h, f ) est hyperbolique. On veut montrer que (h , f ) est hyperbolique. Le théorème d’injectivité de Bayer-Fluckiger/Lenstra [10] ([15, th. 1.14]
en caractéristique libre) permet de supposer que k est 2-spécial ce qui implique
que scd(k) ≤ 2. On note r = 2r 0 le rang de h, alors G est de type quasi-déployé
1 D dr 0 .
Nos hypothèses impliquent que (V , h , f ) est isométrique à un tordu de
(V , h, f ) par un 1-cocycle z à valeurs dans G = Spin(V , h, f ). Par récurrence,
on a H 1 (L, G) = 1, donc [z] ∈ H 1 (L/k, G). Le k-groupe G est isotrope et admet un k-sous-groupe parabolique de type D dr 0 \ {α dr 0 } suivant le Lemme 7.4.3.
Le Lemme 3.2.8 permet de choisir un L-parabolique P de G de type
D dr 0 \ {α dr 0 } tel que le k-groupe M = P ∩ σ (P ) soit un L-Levi de P .
Alors l’application H 1 (L/k, M) → H 1 (L/k, G) est surjective. Suivant
la Remarque 5.6.2.(c).(iv), la Proposition 5.6.1.(2) s’applique et ramène le
problème à vérifier que H 1 (k, DM) = 1. Comme un tel k-groupe est semisimple simplement connexe de type quasi-déployé 2 A dr 0 −1 , cette annulation
est vérifiée (Th. 7.3.2). Ceci montre que [z] = 1. On conclut que (h , f ) est
hyperbolique.
Cas général. Les conditions disc (h,f ) (h , f ) = 1 et Cl (h,f ) ((h , f )) = 0
impliquent que (h , f ) est isométrique au tordu de h par un 1-cocycle z à valeurs
dans G. Notant X le G-torseur associé à z, on a que (h, f ) k(X) et (h , f ) k(X)
sont isométriques. On considère les relèvements hermitiens (H , F ) = (h, f ) ⊥
(−h , f ) et (H, F ) = (h, f ) ⊥ (−h, f ), celles-ci deviennent isométriques
sur k(X). Par suite disc (H,F ) (H , F ) appartient au noyau de H 1 (k, Z/2Z) →
H 1 (k(X), Z/2Z) donc est trivial puisque k(X) est une extension régulière de
k. De même la classe Cl (H,F ) (H , F ) appartient au noyau ker
2 Br(k) →
2 Br(k(X))
/Z.[D]. Comme Br(k) s’injecte dans Br(k(X)), on en déduit que
7 Groupes classiques
applique [z] sur 1 et il suit que ρ ∗ [z] ∈ ker
H 1 (k, SU(V , h, f )) →
H 1 (k, U(V , h, f ))
. Ceci étant, le composé
Z/2Z → H
1 (k, SU(V , h, f ))
δ
− → H
2
fppf (k, μ 2 )
applique 1 sur [D] = 0 (Lemme 7.4.5.(2)). Comme δ(p ∗ [z]) = 0 il vient
p ∗ [z] = 1 ∈ H 1 (k, SU(V , h, f )), d’où finalement [z] = 1 ∈ H 1 (k, G) en vertu de
la Proposition 5.4.1.
On procède maintenant à la démonstration de la Proposition 7.4.10.
Démonstration L’ implication (i) ⇒ (ii) est triviale. On va montrer la réciproque
par récurrence sur d = 2 a ≥ 1 en tenant compte du Théorème 7.4.9 aussi dans
la récurrence et du cas des formes quadratiques qui est le cas d = 1. On sait que
D est un produit tensoriel d’algèbres de quaternions (Th. 7.1.5) donc il existe une
extension quadratique étale L/k de corps qui se plonge dans D. En particulier, D L
est d’indice 2 a−1 . On note σ la conjugaison sur L. Soit donc (h , f ) une paire
hermitienne satisfaisant (ii).
Premier cas: (h, f ) est hyperbolique. On veut montrer que (h , f ) est hyperbolique. Le théorème d’injectivité de Bayer-Fluckiger/Lenstra [10] ([15, th. 1.14]
en caractéristique libre) permet de supposer que k est 2-spécial ce qui implique
que scd(k) ≤ 2. On note r = 2r 0 le rang de h, alors G est de type quasi-déployé
1 D dr 0 .
Nos hypothèses impliquent que (V , h , f ) est isométrique à un tordu de
(V , h, f ) par un 1-cocycle z à valeurs dans G = Spin(V , h, f ). Par récurrence,
on a H 1 (L, G) = 1, donc [z] ∈ H 1 (L/k, G). Le k-groupe G est isotrope et admet un k-sous-groupe parabolique de type D dr 0 \ {α dr 0 } suivant le Lemme 7.4.3.
Le Lemme 3.2.8 permet de choisir un L-parabolique P de G de type
D dr 0 \ {α dr 0 } tel que le k-groupe M = P ∩ σ (P ) soit un L-Levi de P .
Alors l’application H 1 (L/k, M) → H 1 (L/k, G) est surjective. Suivant
la Remarque 5.6.2.(c).(iv), la Proposition 5.6.1.(2) s’applique et ramène le
problème à vérifier que H 1 (k, DM) = 1. Comme un tel k-groupe est semisimple simplement connexe de type quasi-déployé 2 A dr 0 −1 , cette annulation
est vérifiée (Th. 7.3.2). Ceci montre que [z] = 1. On conclut que (h , f ) est
hyperbolique.
Cas général. Les conditions disc (h,f ) (h , f ) = 1 et Cl (h,f ) ((h , f )) = 0
impliquent que (h , f ) est isométrique au tordu de h par un 1-cocycle z à valeurs
dans G. Notant X le G-torseur associé à z, on a que (h, f ) k(X) et (h , f ) k(X)
sont isométriques. On considère les relèvements hermitiens (H , F ) = (h, f ) ⊥
(−h , f ) et (H, F ) = (h, f ) ⊥ (−h, f ), celles-ci deviennent isométriques
sur k(X). Par suite disc (H,F ) (H , F ) appartient au noyau de H 1 (k, Z/2Z) →
H 1 (k(X), Z/2Z) donc est trivial puisque k(X) est une extension régulière de
k. De même la classe Cl (H,F ) (H , F ) appartient au noyau ker
2 Br(k) →
2 Br(k(X))
/Z.[D]. Comme Br(k) s’injecte dans Br(k(X)), on en déduit que