7.4 Le cas de type D
115
Remarque 7.4.8 On aurait pu procéder différemment en différentiant le cas de
caractéristique = 2 et celui de caractéristique 2. En caractéristique = 2, il
s’agit du théorème de simplification pour les formes hermitiennes [113, I.6.3.4].
En caractéristique 2, une façon de faire serait d’utiliser un dictionnaire entre
relèvements hermitiens et formes quadratiques (généralisées) [64] pour lesquelles
on dispose d’un théorème de simplification par rapport aux formes hyperboliques
[156, cor. 9.2, p. 268].
7.4.2 Classification
Notre but est d“établir le:
Théorème 7.4.9 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soit G un groupe semi-simple
simplement connexe de type D n (n ≥ 4). On a H 1 (k, G) = 1.
Dans cette généralité, ce résultat est dû à Berhuy, Frings et Tignol qui en
ont donné une preuve en caractéristique libre. Nous allons procéder un peu
différemment avec la notion de relèvement hermitien de formes quadratiques.
Proposition 7.4.10 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soient (V , h, f ) et (V , h , f )
des relèvements de paires quadratiques où V désigne un D-espace vectoriel de
dimension r avec rd = 2n. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) (h, f ) et (h , f ) sont isométriques;
(ii) disc (h,f ) (h , f ) est trivial et Cl (h,f ) (h , f ) = 0 ∈ H 2 (k, μ 2 )/Z.[D].
On commence par établir le Théorème 7.4.9 à partir de la Proposition 7.4.10.
Démonstration On a G = Spin(V , h, f ) où (V , h, f ) est un relèvement d’une
paire quadratique relative à une k-algèbre simple centrale à division D munie d’une
involution θ de première espèce (comme ci-dessus).
Si d = 1, alors G = Spin(q) pour une forme quadratique, le résultat est le
Théorème 7.1.12. On peut donc supposer que d ≥ 2. Soit [z] ∈ H 1 (k, G) et
notons (V , h , f ) le tordu par z du relèvement hermitien (V , h, f ). Elle satisfait
disc (h,f ) (h , f ) = 1 et Cl (h,f ) (h , f ) = 0 donc (h , f ) est isométrique à (h, f )
en vertu de la Proposition 7.4.10. On dispose des deux suites exactes
1 → μ 2 → G = Spin(V , h, f )
ρ
− → SU(V , h, f ) → 1
et
1 → SU(V , h, f ) → U(V , h, f ) → Z/2Z → 1.
Le composé
H
1 (k, Spin(V , h, f )) → H
1 (k, SU(V , h, f )) → H
1 (k, U(V , h, f ))
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Remarque 7.4.8 On aurait pu procéder différemment en différentiant le cas de
caractéristique = 2 et celui de caractéristique 2. En caractéristique = 2, il
s’agit du théorème de simplification pour les formes hermitiennes [113, I.6.3.4].
En caractéristique 2, une façon de faire serait d’utiliser un dictionnaire entre
relèvements hermitiens et formes quadratiques (généralisées) [64] pour lesquelles
on dispose d’un théorème de simplification par rapport aux formes hyperboliques
[156, cor. 9.2, p. 268].
7.4.2 Classification
Notre but est d“établir le:
Théorème 7.4.9 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soit G un groupe semi-simple
simplement connexe de type D n (n ≥ 4). On a H 1 (k, G) = 1.
Dans cette généralité, ce résultat est dû à Berhuy, Frings et Tignol qui en
ont donné une preuve en caractéristique libre. Nous allons procéder un peu
différemment avec la notion de relèvement hermitien de formes quadratiques.
Proposition 7.4.10 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soient (V , h, f ) et (V , h , f )
des relèvements de paires quadratiques où V désigne un D-espace vectoriel de
dimension r avec rd = 2n. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) (h, f ) et (h , f ) sont isométriques;
(ii) disc (h,f ) (h , f ) est trivial et Cl (h,f ) (h , f ) = 0 ∈ H 2 (k, μ 2 )/Z.[D].
On commence par établir le Théorème 7.4.9 à partir de la Proposition 7.4.10.
Démonstration On a G = Spin(V , h, f ) où (V , h, f ) est un relèvement d’une
paire quadratique relative à une k-algèbre simple centrale à division D munie d’une
involution θ de première espèce (comme ci-dessus).
Si d = 1, alors G = Spin(q) pour une forme quadratique, le résultat est le
Théorème 7.1.12. On peut donc supposer que d ≥ 2. Soit [z] ∈ H 1 (k, G) et
notons (V , h , f ) le tordu par z du relèvement hermitien (V , h, f ). Elle satisfait
disc (h,f ) (h , f ) = 1 et Cl (h,f ) (h , f ) = 0 donc (h , f ) est isométrique à (h, f )
en vertu de la Proposition 7.4.10. On dispose des deux suites exactes
1 → μ 2 → G = Spin(V , h, f )
ρ
− → SU(V , h, f ) → 1
et
1 → SU(V , h, f ) → U(V , h, f ) → Z/2Z → 1.
Le composé
H
1 (k, Spin(V , h, f )) → H
1 (k, SU(V , h, f )) → H
1 (k, U(V , h, f ))