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7 Groupes classiques
Cette construction est la somme orthogonale. En termes cohomologiques, l’hypothèse revient à dire que ρ ∗ (γ × η) = 1. Ceci étant, l’additivité du discriminant relatif implique que disc (h 1 ,f 1 ) (h 2 , f 2 ) = 0. Ainsi γ provient d’une
classe γ ∈ H 1 (k, SU(h 1 , f 1 )). De même η = 1 provient de la classe triviale
η = 1 ∈ H 1 (k, SU(h 3 , f 3 )). On considère l’image ζ de γ × η dans
H 1 (k, SU(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 )). Son image dans H 1 (k, U(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 )) est
triviale donc elle provient du bord Z/2Z → H 1 (k, SU(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 )). Deux
pages en amont, on a considéré le diagramme (∗); celui-ci induit le diagramme
commutatif
U(h 1 , f 1 )(k) × U(h 3 , f 3 )(k)
ρ
U(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 )(k)
Z/2Z ⊕ Z/2Z
Z/2Z
H 1 (k, SU(h 1 , f 1 )) × H 1 (k, SU(h 3 , f 3 ))
H 1 (k, SU(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 ))
U(h 1 , f 1 ) × U(h 3 , f 3 )
ρ∗
H 1 (k, U(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 ))
dont les verticales sont des suites exactes d’ensembles pointés. Ce diagramme
montre que l’on peut modifier le cas échéant la classe γ de sorte que ξ = 1.
On écrit (V 3 , h 3 ) = H(W 3 ). Nous allons utiliser que le k-sous-groupe
P ⊂ SU(h 1 ⊕ h 3 ) qui stabilise W 3 est un k-sous-groupe parabolique admettant
le sous-groupe de Levi L = SU(h 1 ) GL D (W 3 ). Ce fait sera vérifié à la
fin. Le théorème de Borel-Tits (§2.2.3) montre que l’application H 1 (k, L) →
H 1
k, SU(h 1 ⊥ h 3 )
est injective et il en est de même de H 1 (k, SU(h 1 )) →
H 1
k, SU(h 1 ⊥ h 3 )
. Comme γ appartient à ce noyau, cette classe est triviale
et il suit que γ = 1. On conclut que h 2 est isométrique à h 1 .
Il reste à vérifier l’assertion sur le couple (P , L). Il est commode d’étendre les
scalaires à une clôture séparable k de k déployant D de sorte que l’on se retrouve
dans le cas des formes quadratiques hyperboliques. De façon plus précise, on pose
V
i = V i ⊗ k k et W
3 = W 3 ⊗ k k s . Alors h i définit une forme quadratique régulière
q
i sur W
i de sorte que U(h i ) k = O(q
i ). Alors P = P k est le stabilisateur du sousespace totalement isotrope W
3 qui est de dimension dn 3 où n 3 = dim D (W 3 ). On sait
alors que P est un k -sous-groupe parabolique de SO(q
1 ⊥ q
3 ) [52, th. 3.9.(i)]. De
plus, L = SO(q
1 )×GL(W
3 ) ce qui définit un scindage du morphisme de restriction
ψ : P → GL(W
3 ), g → g W 3 . Ainsi P = ker(ψ) GL(W
3 ) et ker(ψ) est lisse et
connexe.
On a V
3 = W 3 ⊕ W ∗
3 , donc chaque élément g ∈ ker(ψ)(k ) agit trivialement
sur W ∗
3 et partant sur V
3 . Ainsi ker(ψ) stabilise V
1 = (V
3 ) ⊥ , ce qui définit un
morphisme ψ : ker(ψ) → SO(q
1 ) qui est scindé. Ainsi P = ker(ψ )
SO(q
1 ) ×
GL(W
3 )
avec ker(ψ ) lisse, unipotent et connexe. On conclut que L est un sousgroupe de Levi de P .
7 Groupes classiques
Cette construction est la somme orthogonale. En termes cohomologiques, l’hypothèse revient à dire que ρ ∗ (γ × η) = 1. Ceci étant, l’additivité du discriminant relatif implique que disc (h 1 ,f 1 ) (h 2 , f 2 ) = 0. Ainsi γ provient d’une
classe γ ∈ H 1 (k, SU(h 1 , f 1 )). De même η = 1 provient de la classe triviale
η = 1 ∈ H 1 (k, SU(h 3 , f 3 )). On considère l’image ζ de γ × η dans
H 1 (k, SU(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 )). Son image dans H 1 (k, U(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 )) est
triviale donc elle provient du bord Z/2Z → H 1 (k, SU(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 )). Deux
pages en amont, on a considéré le diagramme (∗); celui-ci induit le diagramme
commutatif
U(h 1 , f 1 )(k) × U(h 3 , f 3 )(k)
ρ
U(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 )(k)
Z/2Z ⊕ Z/2Z
Z/2Z
H 1 (k, SU(h 1 , f 1 )) × H 1 (k, SU(h 3 , f 3 ))
H 1 (k, SU(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 ))
U(h 1 , f 1 ) × U(h 3 , f 3 )
ρ∗
H 1 (k, U(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 ))
dont les verticales sont des suites exactes d’ensembles pointés. Ce diagramme
montre que l’on peut modifier le cas échéant la classe γ de sorte que ξ = 1.
On écrit (V 3 , h 3 ) = H(W 3 ). Nous allons utiliser que le k-sous-groupe
P ⊂ SU(h 1 ⊕ h 3 ) qui stabilise W 3 est un k-sous-groupe parabolique admettant
le sous-groupe de Levi L = SU(h 1 ) GL D (W 3 ). Ce fait sera vérifié à la
fin. Le théorème de Borel-Tits (§2.2.3) montre que l’application H 1 (k, L) →
H 1
k, SU(h 1 ⊥ h 3 )
est injective et il en est de même de H 1 (k, SU(h 1 )) →
H 1
k, SU(h 1 ⊥ h 3 )
. Comme γ appartient à ce noyau, cette classe est triviale
et il suit que γ = 1. On conclut que h 2 est isométrique à h 1 .
Il reste à vérifier l’assertion sur le couple (P , L). Il est commode d’étendre les
scalaires à une clôture séparable k de k déployant D de sorte que l’on se retrouve
dans le cas des formes quadratiques hyperboliques. De façon plus précise, on pose
V
i = V i ⊗ k k et W
3 = W 3 ⊗ k k s . Alors h i définit une forme quadratique régulière
q
i sur W
i de sorte que U(h i ) k = O(q
i ). Alors P = P k est le stabilisateur du sousespace totalement isotrope W
3 qui est de dimension dn 3 où n 3 = dim D (W 3 ). On sait
alors que P est un k -sous-groupe parabolique de SO(q
1 ⊥ q
3 ) [52, th. 3.9.(i)]. De
plus, L = SO(q
1 )×GL(W
3 ) ce qui définit un scindage du morphisme de restriction
ψ : P → GL(W
3 ), g → g W 3 . Ainsi P = ker(ψ) GL(W
3 ) et ker(ψ) est lisse et
connexe.
On a V
3 = W 3 ⊕ W ∗
3 , donc chaque élément g ∈ ker(ψ)(k ) agit trivialement
sur W ∗
3 et partant sur V
3 . Ainsi ker(ψ) stabilise V
1 = (V
3 ) ⊥ , ce qui définit un
morphisme ψ : ker(ψ) → SO(q
1 ) qui est scindé. Ainsi P = ker(ψ )
SO(q
1 ) ×
GL(W
3 )
avec ker(ψ ) lisse, unipotent et connexe. On conclut que L est un sousgroupe de Levi de P .