7.4 Le cas de type D
113
Lemme 7.4.6 (Généralisation de [11, Lemmas 2.1.3, 2.1.4])
(1) Si (h, f ) est hyperbolique, alors e 2 (h, f ) = 0.
(2) Si (h, f ) et (h , f ) sont des paires hermitiennes de même rang et de discriminant trivial, on a la relation e 2 (h , f ) = e 2 (h, f ) + Cl (h,f ) ((h , f )).
Démonstration Soit X la variété de Severi-Brauer de A, on se donne un isomorphisme A ⊗ k k(X) ∼ = M 2n (k(X)). Alors (h, f ) définit une paire quadratique
(H, F ). sur k(X) 2n de discriminant trivial. Le théorème d’Amitsur [86, §5.4]
énonce que le morphisme Br(k)/Z.[A] → Br(k(X)) est injectif. En étendant les
scalaires à k(X), on est ainsi ramené au cas des formes quadratiques. On peut donc
supposer que l’on travaille avec une paire quadratique (σ q , f q ) associée à une forme
quadratique régulière q de dimension 2n et de discriminant trivial. Dans ce cas on
a C + (A, σ, f ) = C
+
0 (q), i.e. une composante de l’algèbre de Clifford paire de q.
En vertu de [63, 13.9], C
+
0 (q) est Brauer équivalente à l’algèbre de Clifford C(q) et
e 2 (q) est l’invariant de Clifford de q tel que défini dans ibid, §14. Ainsi l’invariant
e 2 est additif [63, th. 14.3] et ne dépend que de la classe de similitude.
(1) Si q est hyperbolique, alors C(q) est déployée [113, IV.2.1.1] et on a donc
e 2 (q) = 0.
(2) Si q est une autre forme quadratique de dimension 2n et de discriminant trivial,
on doit montrer que e 2 (q ) = e 2 (q) + Cl q (q ).
Premier cas: q est hyperbolique. Nous renvoyons à [113], diagramme avant
IV.8.2.2.
Cas général. On a
e 2 (q
) = e 2 (q
⊥ −q) + e 2 (q)
[additivité de e 2 ]
= Cl q⊥−q (q
⊥ −q) + e 2 (q)
[premier cas]
= Cl q (q
) + e 2 (q)
[additivité de Cl].
La version du théorème de simplification de Witt dans ce cadre est la suivante.
Théorème 7.4.7 Soit (A i , σ i , f i ) i=1,2,3 des paires quadratiques avec A i =
End D (V i ). Soit (h i , f i ) un relèvement hermitien de (σ i , f i ) par rapport à
(D, θ ) pour i = 1, 2, 3. Si les relèvements hermitiens (h 1 , f 1 ) ⊥ (h 3 , f 3 ),
(h 2 , f 2 ) ⊥ (h 3 , f 3 ) sont isométriques, alors (h 1 , f 1 ) est isométrique à (h 2 , f 2 ).
Démonstration Quitte à remplacer (h 3 , f 3 ) par la paire hyperbolique (h 3 , f 3 ) ⊥
(−h 3 , f 3 ), il est loisible de supposer que (h 3 , f 3 ) est hyperbolique. Les Despaces vectoriels V 1 et V 2 ont même dimension. On note γ = [(h 2 , f 2 )] ∈
H 1 (k, U(h 1 , f 1 )) et η = [(h 3 , f 3 )] ∈ H 1 (k, U(h 3 , f 3 )) la classe triviale. On
dispose d’un plongement ρ : U(h 1 , f 1 ) × U(h 3 , f 3 ) )→ U(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 );
il donne lieu à
ρ ∗ : H
1 (k, U(h 1 , f 1 )) × H
1 (k, U(h 3 , f 3 )) → H
1 (k, U(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 )).
113
Lemme 7.4.6 (Généralisation de [11, Lemmas 2.1.3, 2.1.4])
(1) Si (h, f ) est hyperbolique, alors e 2 (h, f ) = 0.
(2) Si (h, f ) et (h , f ) sont des paires hermitiennes de même rang et de discriminant trivial, on a la relation e 2 (h , f ) = e 2 (h, f ) + Cl (h,f ) ((h , f )).
Démonstration Soit X la variété de Severi-Brauer de A, on se donne un isomorphisme A ⊗ k k(X) ∼ = M 2n (k(X)). Alors (h, f ) définit une paire quadratique
(H, F ). sur k(X) 2n de discriminant trivial. Le théorème d’Amitsur [86, §5.4]
énonce que le morphisme Br(k)/Z.[A] → Br(k(X)) est injectif. En étendant les
scalaires à k(X), on est ainsi ramené au cas des formes quadratiques. On peut donc
supposer que l’on travaille avec une paire quadratique (σ q , f q ) associée à une forme
quadratique régulière q de dimension 2n et de discriminant trivial. Dans ce cas on
a C + (A, σ, f ) = C
+
0 (q), i.e. une composante de l’algèbre de Clifford paire de q.
En vertu de [63, 13.9], C
+
0 (q) est Brauer équivalente à l’algèbre de Clifford C(q) et
e 2 (q) est l’invariant de Clifford de q tel que défini dans ibid, §14. Ainsi l’invariant
e 2 est additif [63, th. 14.3] et ne dépend que de la classe de similitude.
(1) Si q est hyperbolique, alors C(q) est déployée [113, IV.2.1.1] et on a donc
e 2 (q) = 0.
(2) Si q est une autre forme quadratique de dimension 2n et de discriminant trivial,
on doit montrer que e 2 (q ) = e 2 (q) + Cl q (q ).
Premier cas: q est hyperbolique. Nous renvoyons à [113], diagramme avant
IV.8.2.2.
Cas général. On a
e 2 (q
) = e 2 (q
⊥ −q) + e 2 (q)
[additivité de e 2 ]
= Cl q⊥−q (q
⊥ −q) + e 2 (q)
[premier cas]
= Cl q (q
) + e 2 (q)
[additivité de Cl].
La version du théorème de simplification de Witt dans ce cadre est la suivante.
Théorème 7.4.7 Soit (A i , σ i , f i ) i=1,2,3 des paires quadratiques avec A i =
End D (V i ). Soit (h i , f i ) un relèvement hermitien de (σ i , f i ) par rapport à
(D, θ ) pour i = 1, 2, 3. Si les relèvements hermitiens (h 1 , f 1 ) ⊥ (h 3 , f 3 ),
(h 2 , f 2 ) ⊥ (h 3 , f 3 ) sont isométriques, alors (h 1 , f 1 ) est isométrique à (h 2 , f 2 ).
Démonstration Quitte à remplacer (h 3 , f 3 ) par la paire hyperbolique (h 3 , f 3 ) ⊥
(−h 3 , f 3 ), il est loisible de supposer que (h 3 , f 3 ) est hyperbolique. Les Despaces vectoriels V 1 et V 2 ont même dimension. On note γ = [(h 2 , f 2 )] ∈
H 1 (k, U(h 1 , f 1 )) et η = [(h 3 , f 3 )] ∈ H 1 (k, U(h 3 , f 3 )) la classe triviale. On
dispose d’un plongement ρ : U(h 1 , f 1 ) × U(h 3 , f 3 ) )→ U(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 );
il donne lieu à
ρ ∗ : H
1 (k, U(h 1 , f 1 )) × H
1 (k, U(h 3 , f 3 )) → H
1 (k, U(h 1 ⊥ h 3 , f 1 ⊥ f 3 )).